Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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71. Kapitel.

von den Vieltilichnern und entbiilt folgende S~ize: Das Product der
Eckenzahl e in 4 Rechte urn 8 Rechte verringert ist gleich der Summe
w alter Polygonwinkel auf der Oberfliche des Vielflichners. FUr die
Summe w gilt die Wahrheit, dass sie mit dem Vierfachen der Fi1ichenzahi f vereinigt die doppelte Auzahi alter Polygonwinkel, beziehungsweise das Vierfache der Kantenzahl k liefert, indem die Winkelanzahi
desshalb der doppelten Kantcnzahl gleichkommt, weil jede Kante zu
zwei Flilchen geb~irt und in jeder derselben bei der Winkelbildung
mitwirkt. Die beiden Gleichungen w = 4e - 8, w + 4f== 4k ftihfren
vereinigt Zn der neuen Gleichung e + f == k ~ 2. Descartes kleidet
sie in die Worte: Numerus verorum angulorum planorum est 2 'p-j-2 a - )
indem die Zahi w der ebenen Winkel, wie wir soeben bemerkt haben,
der doppelten Kantenzahl gleichkommrt, Tp die F1ichenzahl (unser f),
a die Zahi der kUrperlichen Winkel (angulorum solidorum) oder die
Eckenzahi (unser e) bedeutet. Wir haben die Descartes'schen Buchstaben durch andere ersetzt, urn die Form zu erhalten, iu weicher
sp~iter E u I e r den Satz ueu entdeckte, weicher von diesern deu Namen
des Euler'schen Polyedersatzes zu fffliren pflegt. Descartes hat
audi folgende Ungleicliheiten noch behauptet: Die Zahl der Polygonwinkel (2k) ist mindestens das Dreifache der Eckenzahi, d. h. 2k ~ 3e;
das Doppelte der urn 2 verminderten Eckeuzahi ist die gr~isstrnbgliche F1ichenzahl, d. h. 2 e -4 ~ f; endlich e +4 <l 2f, weicher
letztere Satz so ausgedriickt ist: Die kleinstrn~gliche Flicheuzahi sei
urn 2 grosser als die Zahl, weiche erhalten werde, wenn man die
liulfte der Eckenzahl oder, falls dies e ungerade ist, der urn 1 vermelirten Eckenzahl nehmre.
Diese S~tze fiihren uns wieder zu den Vieleckswinkeln zurUck
und zu den rnannigfachen Arten von Vieleckeu, denen K eplcer und
G i ra rd ihr Augenmerk zugewandt haben. Auch A th a nas i us
K i r c h e r 2) (1602-1680), emn Vielschreiber von beriichtigter Unzuverlissigkeit, hat wiederholt mit Steruvielecken zu thun gehabt. In
der Ars magna lucis et umbrae von 1646 dient ihrn das Sternsiebeneck zur Bestimmung der Sterne, weichen die einzelnen Wochentage
zugeeignet sind. Den Eutfernungen von der Erde nach georduet
heissen diese Sterne Saturn, Jupiter, Mars, Sonne, Venus, Merkur,
Mond. Werden die Narnen in dieser Reihenfolge kreisfirrnig hingeschricben und nun bci Saturn anfangend unter jedesmaliger Ueberspringung von zwei Stellen geradlinige Verbindungen vollzogen, so
1) Biblioth. math. 1890, pag. 45 Z. 3 v. u. 2) Chasles, Aperqu hist. 478
und 481 (deutsch 548 und 552). - A~lgem. deutsche Biographic XV1, 1-4. Artikel von Ermuan.