Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Rechenkunst urnd Algebra.63

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beginnt mit dem 45. Satze and handelt von der Entstehung rationaler rechtwinkliger Dreiecke aus einander. Damnit aus zwei
Zahien A, B, welehe die Wurzeln (les rechtwinkligen Dreiecks
heissen 1), emn solehes gebildet werde, benutzt, man sie als Anfangsglieder einer geometrisehenl ieihe, deren drittes Glied foiglich jheisst. Sunime und Differenz der beiden iiusseren Glieder und (las
doppelte mittlere Glied (in Vieta's Scribese +Bqadr
B3 quadrato
A == - A-11-,- B2, indem der Zahlenfactor 2 dem B nachgesetzt
wird) sind alsdann die drei Seiten des rationalen Dreiecks. Vervielfache man Alles mit idamnit siimmtliche Seiten auf dieselbe Benenrnung gebraebt seien, ut ad idemn genus aMplicat'ioris latera quaeque
revocentur, so heissen die Seiten: A quadr. + B quadr., A. quadr.
= B quadr., A in B 2. Nun seien zwei reclitwinklige Dreicke
Z, B, D und X, F, G gegeben, d. b. es sei, urn von jetzt au die heute
gew~5hnliche Schreibweise auzuwenden, Z2 = 112 + J)2 X2 -= F2 +G 2.
Dannl ist auch (ZX)2 == (BG + DF)2 + (BF - -DG)2 =- (BE
+DG ()2 + (BG - DF)2 Mit zweifiacher Zerlegung des Productes
zweier Quadratsunimen in eine nente Quadratsumme, wie sie seit
Diophant (Bd. I, S. 451) bekannt war, oder es ist aus zwei Dreiecken
in doppelter Art emn drittes gebildet. Statt zweier versehiedener
Ureiecke karin man dasselbe iDreieck, etwa A, B, D, zweimal nehW
mien 2). Das eine nene Dreieck heisst dann A'2, 2 BD, B 2 -D2
und es hat die Eigensehaft, dass sein einer spitzer Winkel
doppelt so gross ist, als ein spitzer Winkel des ursprhinglichen D reiecks. Vieta beweist diese Winkeleigenscbaft niclit, er
sprielit sie nur ails; bei seiner uns aus der Auflsung der Aufgabe
Van Roomen's bekannten Gewandtheit, mit trigonometrischen Funetionen zu rechnen, kau-n aber niclit gezweifelt werdein, dass sein
G1edankengang etwa folgender war. Hiess iun ursprfinglichen Dreiecke der eine spitze Winkel a,,so war sin a = Cos cc=
2 sin ac cos ac = sin 2 a = B nud also ima neuen Dreiecke der
Winkel 2a nachgewiesen, als dessen Cosinus hp-erseheint. An
diesem Gedankengange ist umn so weniger zn zweifeln, als Vieta der
eben erirterten Aufgabe als Dilehste die der Bildung des D reiecks
mit dreifachem Winkel'3) anschliesst. Dureli Vervielfachung von
A 2 =B2 + D' 2mit (A 2)2 -(2BD',2 + (B 2 - D 2)2 erbh~t er
1)Vi eta pag.:33: Triangulum, rectattnguin a duabus radicibus effingerc.
2) Ebenda pag.,36: A (luobus triangulis rectanqulis aequalibas et aequiangulis
tertiumn triangulunm rectangulunt constituere. ') Triangulumt anguli tripli.