Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Leonardo von Pisa und sein Liber Abaci.9

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weicher die Zeiclien leiclit weggewiselit werden k6nnaen 1), diejenige
Multiplication auslfihfren, weiche die Inder (Bd. I, S. 571) unter dem
Namen der blitz-bildenden tibten, iund gelit dabei so weit, zwei achtziffrige
Zahien mit einander vervielfachen zu lassen. Zur Prilfung des Ergebniisses dient die vorher bewiesene Neunerprobe 2). Das Product
heisst regelmiissig summa multiplicationis 3).
Der dritte Abs chnitt wendet die Addition auf die schachbrettartige Multiplication (Bd. I, S. 571) an. Die Neu-nerprobe wird
neuerdings und zwar mittels dureli Buchstaben angedeuteter aber
nicht gezeichneter Linien bewiesen4). Wir lassen die nur an wenigen
Stellen wegen vom Sinne gebotener kleiner Aenderungen nicht ganz
wortgetreue -Uebersetzung des Beweises folgen:,,Um zu zeigen, woher diese Probe stammt, seien zwei Zahien. a. b. 5) und. b. g. gegeben, weiche wir addiren wollen, und es sei also. a. g. die aus
ilinen vereinigte Zahl. Nun sage ich, dass aus der Vereinigung des
Gewichtes (pensa) der Zalil. a. b. mit dem Gewiclite der Zahl.b. g.
das, Gewiclit von. a. g. entsteht. Erstlich sei jede der Zalilen a a. b.
und.b.g. durch 9 theilbar, 9 also Gemeintheiler von.a.b. und.b.g.
Folglich ist audh die vereinigte Zahl. a. g. durch 9 theilbar, und
Null ist ihr Gewiclit, wie es aus der Addition der Probezahlen (probe)
oder aus der Prilfung der Zalilen. a. b. und. b.g. erhalten wird.
Ferner sei eine der beiden Zahlen durch 9 theilbar, die andere nicht,
Lind es sei die Zahl a a. b.,7 die durch 9 theilbar ist, und bei der
Theilung von.b.g. durch 9 bleibe.d.g. librig. Die Zahlen.d.b.
und b. a. sind demnach durch 9 theilbar und ebenso audi ihre
Summe.d.a. Weil nun die Zalil.a.g. Uber.a.d. urn g.d. Utberschiesst und. a. d. durch 9 theilbar ist, so bleibt aus der ganzen.. a. g. die durch 9 untheilbare.d.g. iibrig, welche aus der Addition
der Probezahi von.a. b. - ujmlich Null - mit der Probezahl von.b.g. - niimlich. d.g.- entsteht. Endlich sei keine der Zalilen.a.b. und.b.y. durch 9 theilbar, vielmehr bleiben aus.a.b. die
') L e on. P i sano I, 7: in tabula dealbata in qua littere leviter deleantu~r.
2)Ebenda pag. S. 3) Ebenda pag. 12 und biiufigrer. 4) Ebenda pag. 20
Z.9-'28. 5)Man beachte die regelmI~ssig wiederkelirende Anwendung von
drei Ptinktchen vor, zwischen und hinter den die Strecke bezeich-nenden Buchstaben, sowie auch die denm arabischen oder dens griechischen Aiphabete nachgebildete Buebstabenfolge. Jene vielen Punkte finden sich fiberall in mittelalterliehen Handschriften uind stammen daher, dauss sonst die Z ahI. a. b. von
dein Worte ab, nicht zu unterseheiden gewesen ware. Wir verdanken diese
Bemerkuing wie zahireiche andere den briefliehen Mittheilungen von M ax
Curt ze. Wir berufen uns kiinftig auf diese Mittlicilungen mit den Worten:
Curtze brieflich. Der lBequemlichkeit wegen lassen wir die Piinktchen, ausser
an dieser Stelle, kifinftig iiberall weg.