Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

52 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE.
de la géométrie, par exemple la division des angles en trois
espèces, seront donc au delà des représentations figurées, tout
en étant en deçà des rapports entre nombres entiers. ~ L'Epinomis qui reproduit ici, à n'en pas douter, la lettre de la doctrine platonicienne1 ~, marque nettement la fonction qu'à la
suite de l'arithmétique, science.des ~e nombres qui n'ont pas de
corps2 ~, remplit la science qu'on appelle du nom ridicule de
géomérie * la géométrie rend évidente, en la faisant participer
à la loi des figures planes, la similitude de nombres qui, dans
leur nature purement numérique, n'étaient pas semblables les
uns aux autres 3. Il s'agit ici comme l'a expliqué Paul Tannery4
de nombres plans semblables, c'est-à-dire qui peuvent être
représentés par deux rectangles semblables. Pour que de tels
nombres soient commensurables, il faut que les côtés des rectangles respectifs le soient eux-mêmes; ce qui exige que le
rapport des deux nombres donnés soit un carré parfait. Or, la
construction géométrique de la racine carrée incommensurable
permet de déterminer des rectangles semblables, en dehors de
l'hypothèse de la commensurabilité. L'intervention de figures
géométriques étend donc les relations du type numérique au
delà des limites où s'arrête l'expression du calcul en nombres
entiers ou fractionnaires.
Une méthode analogue d'analyse régressive permet enfin de
déterminer l'objet propre de l'astronomie. La merveilleuse
variété des corps célestes est pour l'astronome une sorte de
modèle artificiel, destiny à provoquer une intelligence indépendante de l'intuition du modèle: l'intelligence des mouvements
vrais, constitués par les rapports réciproques de la vitesse réelle
et de la lenteur réelle se mouvant suivant le nombre vrai et suivant les figures vraies, entraînant dans leur mouvement toutes
les choses qui sont en elles ".
28. - La doctrine platonicienne des sciences mathématiques
exprime dans l'histoire le moment où intervient, comme
aOl T&ÂOa O"TÇW, r&'jTà >a OiV aTU, à 7rXatTOUai te xc'r ypXçouov, v-Xcca o'xic xoa
ev a eCtV î.v e6crC, TTOiçTOt p>Yv cb sinYa6v Ca 'p(6vOi, yto-VtÇ te U
eX-rva ic ZTv, à o'jx &v iXXuc l8ot rts, e Tr% 8tavo6u. Rep.,VI, 510 D.
1. Elie Ilalévy, La théorie platonicienne des sciences, 1896, p. 236.
2. 'Aptôl1cv air:3v, &)X,' o. stop.ara XOdvTr(v, 990 C.
3. T5v o VJX 6 toev' aE ôp oit'v q))fi)o< t ç àVpet &pct0.iv 0oiwsrLç itpo; T'r -n Tc
7rt7rJC8E v totpav yeyovuoc Tart tcaç~cpv^ç, 990 D.
4. L'Éducation platonicienne, III, Digression sur un passage de l'Epinomis, Revue
Philosophique, 1880, t. II, p. 529.
5. Tyev S T') OC\Vô^i..-. &ç T, Cv tya'og; Xa' o~Cra ppa5rI çv &r @ fXtivno az ptp.c.aCt 7raxt Top. s VI )-.i6,cTt Tat çop5a D. o poç osqa rçpeTai xal Tt iv6vYT
çépci. Rep., YII, 529 D.