Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LES ETAPES DE rLA PHrLOSOPHE MATHÉMATIQUE
De cette crise il demure un témon0in, ZSnon- d'Elée. Quelle
qu'en ait. été lintention, quelle que soit la Base positive qu'elles
recouvrent, les apories de Zénon d'Eie ont signifi6 pour l'antiquité grecque impossibiité de fire coïncider la pluratité discontinue, pblralîié pythagoricienne des: points aritnhétiques ot
encore pluralite démocritéennie des atomes éteFndus, avec a
donnée concrète, avec la r6ali té continue de l'espace où leJ
chose se deplacent; elles ont maerqué l'échec de la science tèllee
que la matthématique paraiassat en avoir jusque-là fixé-ie modèle;
elles'ont provoqué une conception nouvelle de la connaissance
et de la vé rité.
6.. - A travers les Dialog ues d Plat on, plus d'un indice
vient ténoigner que la découverte des irrationnelles n'est n pa
étrangère à la doctrine platorincienne de la science. Dans!'introduction du'.Théetièe, dialogue destine à marquer Ies
pre.miers degrés de l'analyse qui remonte de l'apparence
sensible à la vérité, Platon rappelle les écrits de son maitre
Théodore, qui établit l'irratio:alité de!Ô/, de V7 et poursuivit
jusqu'à i lI la recherche des racines carries irrationnelles2. Au
VIe' livre des Lois, il se plaint, cornme d'un crime Contre la
patrie, qu'on laisse ignore aux jeunes Hellènes, qu'on lui ait
laissé longtemps ignorer à lui-mmen, la distinction 'des grandeurs commensurables entre elles et des grandeurs inerrimen.
surables 3, distinction dont il fait la base des ~ humanitls ~,
Surtout il convient d'insister sur l'exemple du Ménon: le problème, l'un des plus simples qui pouvaient. se presenter après la
découverte de l'incommensurabilité, conrsiste à déterminer la
longueur du côté d'un carré qui serait double d'un a-ut're carré
ayant quatre pieds de surface. Ce qui est significatif, c'est le bmt
auquel cet exemple est destiné: il s'agit de prouver la thiè/se de
la rdéminiscerce. Le Socrate platon-ic:ien faith introduire un esciave
auquel, sans rien apprendre directement, par le selt efet. de la
1lumière naturelle qui se révèle à' elle-même, il pretend faire
retrouver ]a véritable solution du problme 4. Les premieres réponses de i'esclave sont emprunte s aïux cadres de l'arilhm6tique
pure: Le caré de surface double paraît avoir un c6té de longueur
1. Vide qi fra, ~ 95.
2. Théédtte, 147 D. Voir l'étude de Zeuthe SLur la constitution des livres
arithmtétiques des Éléments d'lactide et leur rapport à la question de l'rrationalité.
Academie Royale des Sciences et des îIettres-de& Danemark, 19i0; p. 395 et suiv.
3. 820 C: Ti Ti;ov u,^rT'o-nT/v; O &p,Tlop(v =p4ç é)SArFa, r:v '0 S YYovE.
4. 82 B. TIpr~:, ^ Tov vo0, 0o.o-Tp< aOt ^ i v qtoil a Tquj']6 vOç n
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