Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LA DECOUVERTE DES I.tAAT[ONNELLES' 47
plus simple est celui don't on suppose que le. côt est 6gal a
l'unité; or,.l'observatin e iprique a dûi le faire facilemeant
découvrir, si la diagonale du carre, qui a ulnité pour c t4, est.prise à son tour comme côté d' un nouveau carré, l'ai. e e ce
carré est égale à deux; quelle sera donc la longueur exact e ae B
diagonale? on si l'on pr6fere, quelle ser la iongueur exacte de
l'hypoténuse du triangle rectangle isoscèle donti les c6tés sont
égaux à Funité? Tous les essais faits pour trouver 'une expression fractionnaire doelt le carré soit equivalent à î, échouent
les uns après les autres. L'échec est-il définitif, et ne pourra.
t-on en choiisissant des unieés de measure 'de plus en plus faibles
finirpar découvrir une racine exacte' de S? Les Grecs se sont
posé la question; ils l'ont itranché6e à l'aide d'une démonasraion
qui donne une idée claire de leurs ressources logiques, et qu'il
est- d'attant plus intéressant de reproduire ici qu'une allusion
d'Aristote1 permet de la faire renter à une date très voisise
de l'époque pythagoricienne. Si la diagonale est commensurable,'
au côté du carré, le rapport peut être m mis soes la former d'une
fraction irréductible d Le théorème de Pythagore dr^ 'a
montre immédiatement que d est pair, d'où l'on conclurait,
puisque d et c sont premiers entre eux, que c est Impair. Mais
la parity de ç permet d'exprimer le théorème sous la forme sui"
vante
- ac% ou?z __C~
ce qui entraînerait la parity de c. Si d et c sont supposés cormensurables, il résulte de l'hypotièhse que c est h la fois impair
et pair; Ainsi sb trouve établie à la pleine Blmière du-. raisonnement 'rigoureLux P ripossibilité de faree correspondre l:i.t
nombre déterminé d'unités à a.iagonale d'un:c.rré qui a ' unmi:
pour côté. Un tel nombre devrait être celui qui a poou cairrt;
il devrait 6tre pair et 'il devrait, tre irmpair en même temp i.
n!a pas d' ~ état civil ~, il est en dehors de l'inteiligibiité. E;
pourtant-la grandeur que l'on se voit condamne à ne jama;s
pouvoir mesurer avec exactitude est gédmét riquement construite
et déterminée. Le domaine de Ilexistence déborde le type de
l'intelligibilité; la rupture de.éI quilibrè où s'était tenu le
dogmnatisme pythagocriien 'est inétvitable.
i. Permiesrs Analytique.s, 23, 41 26, ' A,u $,pr po~ q *.~S c.o ç,. rT T-,-'.,0:
TA -TÇ 'ïC Rà e3X T. tOÎ'Ç-ap Tià tip.tt S T ~~Q'3 v si -~)r
2. Voir ia proposition iatrod3 te dans.... Elme.s d. î'Eleiqdl (X, 17) Cipud
Heibher, X, A pp 26, t. *ii. Lei zig 1p886, o 40i,