Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LÀ' GENtSE D. LTA ]NOVTON E GtROUE 37
obtenir, à lai de de deu-x eélments, ot: oopéralions, de ensemble,
a, b, se suivant dans i'ordre ï6~, m troisin.me étément de cet
ensemble, c (qui sera dit le prtd(it( La comp-ositon ainsi
difinie, on mi.tfitlilicien, nest pas conmm atlive en générat; les
élmennt tels que ab= ba, sont dits permutables. - Cette
mutiplication est associative: (ab} ce a (bc). - De ab = ac,
aussi bien que de ba ea, résulte b c.
354. - La théorie grnérale degroupes o esnous met ainsi en
possession d'une notion don't i1 nest pas besoin de justifier
l'intelligibilité, qui au contraire servirait à. définir l'intelligence
en dégageant les caractères les plus profonds qui appartiennent
à l'idée d'Aoprai m or. La temntation à laquelle biei plutôt. il
convieînt de résiter, ce setait d'é6ger ette notion de groupe,
dont aous venons de rappeler la genen n i, ne forme innée de
'esprit, en une sorte de jugement synthétique a prwi et d'en
faire un priencipe de déductin progressive à qui l'on demande-.
rait d'expliquer telle ou telle determination particulière.
Pour préciser, nous pouvons nous attacher à la correspond
dance qui, àla suite des travaux de Sophus Lie et sous une former
tout élémentaire, s'est établie entre la géométrie et T'analyse.
L'ensemble des déplacements possibles d'un corps solide constitue un groupe de transformations. Or parm i es déplacements
le géomètre retiendra comme objet propre de son étude ceux qui
laissent fixe un des points de l'espace iZl constitueront un
sous.groupe.
C'est dans les rapports de ce group et de ee sous-groupe, écrit
M. Poiacaré, qu'il faut chercher l'explication de ce fait que l'espace a trois dimensions. ~ Le group total est d'ordre tfi c'est-àdire que:tout déplacement peut être regard commre une omnbinaison de six movements élémenêtaires indépendants. Le sousgroupe _est d'odre- 3, c est-à-dire que tout déplacement
appartenant à ce sous-groupe, ou, en d'autres terres, tout déplacement qui laisse fixe un point de l'espace, peut tre re gard
comme e ne ombinaison de trois movements 6élmentaires
indépendants. La difference 6-^3 représente le nombre dess dimen
stfons ~. -
Quelle portée convient-il d'attribuer à une semblable ~ explication', ~? On a pu croire qu'elle visait à- rsoudre philosophiquenent la question de lorigine du nombre des dimensions ou l'orL. Uufûmier, La géenraiisation mathématique, Revne de métaphysique, l9i1
p. 747 et suiv.
2. Poincar, L'eTp-eet et la géonétrie, Revue de e mtaphysique, 1895, p. 4i.