Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LA GE}NÈSE DE LA NOTION DE BO GROJE 3
l'on ait = I. ~ Les diverses valeurs quùe I peut prendre seront
les races de l'éq liGf rTésoiear,. Or. renmrqlue agranlge dans
les expressions qui doninent It, on peut échanger entctr elles à
volonté le2sracints:, xa, cc, etc,, puisque rien ne les distingue
jusql ici 1'une de I'autre2 ~. Leà nombre des racines de la résolvante serait don donéL par le nombre de toutes les permutations possibles entre les racines x, x, C,, c'est-à-dire que pour
une equation du degré m, il serait dle 1,, 3...m. Le degré de la
ré/solvante serait de beaucoup plus élevé6 que celui de la proposée.
3.l - La question est maaintenant de savoir dans quell cas ce
degré sera susceptible d'abaissement. Pour y répondre, Lagrange
considère les changes qu'i. est possible d'effectuer entre les
racines en conservant, en laissant invariante, la fonction résolvante. S'il arrive que i demeuire sans changement lorsqu'on
éc -hange x; avec c,,;2 avec, xx il y a ura deux valeurs
dce qui seront égales; on pourra établir, en développant les
couséqiuences de cette permutation, que les racines! de 1'equa-,ion résolvante sont égaies deux à deux, et le degré de l'équation
sera réduit de moitié. Pour un plus grand nombre de perlmutations, laissant invariable la fonction, les racines de l'tquation
seraient égales trois a trois, quatre à quatre, etc.- le degré de
l'équation sera rame6n au tiers, au quart, etc.
Ces considerations s'appliquent aisément a l'équation générale du troisième degré, que nous avons prise pour exemple.
Nous avons, pour fonction résolvante, dans les 'conditions qui
ont été définies plus haut:
Izz x+ 4 ax. *4- ca:g$
~ Les perrmnatios des racines sont au nombre de L...3 = 6.
Donc l'équation résolvante qu admet les il, t',... / pour racines
devrait (tree du sixièMn de. Le cube t' de la fonction résolvante ne peut prendre que deux valeurs distinctes par les substitutions de a':, "'t donc ce cube depend d'une equation du
second degré. Onr a donc une équation résolvante de degré
inEfériur au deré de léquation donnée et le but est atteint3.
La méechode de Lagrange explique parfaitement pourquoi
l'quation du troisième degré a pu être résolue; rmais permettra~. Traité de la rdsotit ien!des quatUions numriquTes de toue les. degrés éit, de
1808, note 1x5I, p. 2IS; et O.vres, t VIIi, 17 9, p. i
2. Ibid, p. ec p. 24; t p I20r
3. VWinter; o. c:.L, p. 5'-.3s et. P, 50. '