Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LES ETAPES DE LA PHILOSOPEIJE MATIIEMATIQUE
346. --. La doctrine des imaginaires s'est développée suivant.-le m.-e r;ythme dans l'analyse infinitésiimale. Au xvantr siècle
Jeang Betsraoulii et Euler utiiisent la double attitude de ecor-.-,;4.3 e t, d. d t ' nomination que permet I'emploi des imtaginaires
a.'. â, r,duc:tion ides' exponentielles imagin:aires aux sinus et;a -- $:l'Sin".Is des arcs réels 1,. Si, dans la séri: e qui exprime la,7?`.:.-iom. e. xpoeenitielle, onS replace x par xi, on obtient la série?i.,ia,-,f+.2 1r..2.3 1.2.3.4,.e., -,~, t.;eres pairs: deviennent réels, les termes impairs demeurent
'(?v.i.ak.s,_'c; dsJe telle sorte que la série e-i peut se miettre sous
la formt"l}e S 5ls ivanlti te:
3 r -U;3 ] r:. -. ~:~ -.::... + -. +.. -.,a premiere des series entre parentheses est égale à cos x, le
second à sin.x c'est-.-dire que l'on a: e ==cos. + i.sin x.
On penut dire, avec Cournot, qu' ~ il: n'y a pas dans l'analyse
el fait )(us remarquable que [a liaison inattendue qui s'éta;
bit, conmm une e conséquence de l'emploi du signed algébrique,/ ~ ^ jq d'une part, entre les fonctions exponentielles et les fonctihons ri'gonaomé6triques, d'autre part, entre les logarithmes et
es arcs de circle, ceSt-a-dire entire les functions si diverses de
fti turef et d'origine, tant qu'on ne remote pas à la loi qui régit
lemirs., 'a. ccroissemnents différentiels ~,. En effect, il serait difficile
1de troluver unl example plus propTe à manifester quell est, dans
ce domea-i dte -la science abstraite qui parait- cré par le jeu d'
f'î- ht~eYt6 intellectu:eIle, ~ l'objectivitéi ~: veritable de l a pensée
mat~héEai ique u- tn exemple 4voquant advantage lI'idée id'un fait
f nature, li' à ufne forme spécifique d'expérience3.
s'aî' c:ei nest encore qu'une promesse pour l'avenir le:;x si'cel.:e.. sicc le s des imaginaires ~,, renouvelle l'analyse
p'a~',' îi8.kage qu'il fait de la notion d'imaginare, non. dans tel cas
'sayi/.,:: r!e ou:xi pour telle.I classe de transcendantes determines,
I. l;r'odz.'sti'o in analysis infnitorum, t. 1, Lausanne, 1748, p. 104.
W. T7aité de la tFhorie des fiontions et dU caleut inftnitsifmrna, t. 2, 1841f, p t32.
3~. gonis W>r, Vets e e posi titisme absolu par t'idéalitme,. f03i, p. 64. Cf.
Pierres Bontrou-, L'objectivitt intrintrsèque des mathmratiques, Revrie de métaphy'qu.m, 1903, p. 573.
4, Méra.y, Leçonss nouvelles, t. 1, 1. 38.