Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LA. NOTJIOJN D IMAGINAIhEi A4s
raisonrnerents arithlmétiques. Je veux démontrer cette proposition: i on multiple flt par rautre deux nombres entiers dont
chacun,;it la some de deux carrés, le product sera encore
une sUommne de denx carSrs; a-, b2, 6, b étant des carrés
parfaits, les d(eux nombre. auront ia form e (a22 -t- b) et (a'" 4 b ).
On posera les équations suivantes:
ta-+-b r _ 1 ) (a + an '-.-b b' ' (;b -,, arb) '..
( t & - -.' za.. --- (~ab -- a'b) v-.
b( - 6 -- o) (a' ^ - b'- ( 'f) =,..
Et, en les mrultipliant membre à me nbre, on obtiendra la
proposition dont on lcherchait la demonstration:
(a' 4- a) a ) - (ae —. b3-)2.-+- (ab' e a.
Mais, avec Gauss, l'nroducti.on de la notion d'imaginaire a
une tonut autre portée. Pour nous corner a ine remarque très
simple, Gauss étudiera la divisibilité des nombres premiers par
rapport i des facteurs complexes de la forme a - bi. ~ Ici se
produit un. phéanomène intéressant. Tandis que les nombres
nremiers réels de la forme 4h t 3 c'est-à-dire 3, 7, 11... etc.,
restent premiers dans le domaine des nombres complexes de
Gauss, les nombres premiers de la forme 4h-+4-, c'est —dire
5. i3. 4... etc., auxquels il faut ajouter le nombre 2, sent
(dcoemposables en facteurs complexes
==(.i-t- i)(l -- i)
(,- + -i)(. --- 2i)
43 = (3 -- t) (3 `- i)... etc. 2,,.
La conception de Gauss est donc bien attre chose qu'un jeu
de imagination abstraite, décrétant ine extension paradoxale
(le la notion relative aux nombres enters; c'est un instrument
de pénétration dans a structure intime duo nombre. De fait,
le tableau dont nous venons de rappeler les premiers éléments
rend presque immédiate la demonstration de ce théorème
découvert par Fermat, uie tout nombre premier de la former
4t-+t-i est décomposable d'un e seu façon en une somme de
deux carrés 3
1. Ed. ci.6e, p. 181.
2. Winter, Importance philosophique de la thérie des nombnres, 1evuue de métaphysique, i910, p. 332 et La rmithode dans la philosophic des raathémaliques,
191il, p.,13. Voir Gauss, Theoria reskdiortm biquad,oaîticmr.m Comnmenfiauio
secunda (i.I)t. 1Werre, t. lt, 1876,' p. 102 e't suiv.
3. Winter, ibid., p. 332, et p. 114.
Bau rscVmaG. - Les étapes. 3.*