Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LES NOMBRES NÉGATIFS 54i
et effectuons les opérations. Sur les quatre opérations, il y en a:
trois que nous savons faire et qui nons donnent 200 100 -
100, c'est-à-dire 0. Peste la quatrième opération ' la multiplication des quantités affegtées du signe -. Le résultat ne peut en
être fixé que par convention; mais la convention obéit à une loide ~ convenance >~. La règle doit être telle que le produit
(10 -) x (20 — 0) soit égal au produit 5 X10. Or c'est à quoi
nous ne pouvons satisfaire qu'en posant:
(- )x(-i0)x _0
La valeur de vérité qui est dans l'égalité arithmétique:
5x 10=0
s'étend à l'équation aigébrique:
( —5)x ( 0) = 0
et justifie la règle des signes.
Cette extension est une convention a priori en ce sens qu'elle
est une libre création de l'esprit. Mais liberté ne signifie pas
arbiUraire. La convention procède ici de l'élan acquis par l'esprit
au contact de la r,éalité, et dont il se sert pour décbuvrir de nouveaux horizons de réalités.:. Entre le domaine des nombres
positifs etle domaine des nombres négatifs, il n'y a pas identity
logique; on ne peut pas justifier le passage à l'aide d'un principe tel que la permanence des formes opératoires. Mais on
retrouve ce qu'il y a de fondé dans la pensée de Hankel, en
substituant à la notion d'un principe a priori celle d'une conne;ion ~- connexion rationnelle ~, suivant le langage de
Cournot, et, plutôt encore peut-être, connexion naturelle.
Le caractère nature de cette connexion se. confirm par'la
facility de la representation spatiale. La conception cartésienneé
de la géométrie permet d'interpréter les solutions negatives
et leurs combinaisons de façon à préêeûter un parallélisme
rigoureux avec lalgèbre. Philosophiquement on pourrait dire
1. 'Cl Couniot, Considérations, 1872, t. I, p. 141.:., Les signes du négatif er
de l'imaginaire sont hoses de convention ou d'usage; mais le négatif et
l'imaginaire grrivent par la vertu de' l'idée et le mouvement d'évolution qui
lui est propre, en forçant la notation à s'y accommoder etl'esprit à le suivre,
quoi qu'il lui en coûte. ~
2. Dans son Invention nowuelle en algèbre, Ainsterdam, 1629 (réimprimée par.D. Bierens de Haan, Leyde, 1884a Albert Girard avait indiqué de la façon la