Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

536 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE
infini soit lui-même le point de départ d'opérations nouvelles,
destinées à devenir la base d'un calcul transfinitaire. En effet
dans la s@rie considérée, la condition de convergence fait défaut;
nous ne pourrons plus tirer de la loi de sériation un résultat
déterminé puisque nous n'aurons pas le droit d'écarter a priori
le rôle'des termes qui apparaissent au cours du développement
de la série; à chaque terme nouveau correspondra une operation
nouvelle; de telle sorte que, pour avoir le droit de considérer
le premier nombre transfini, non seulement comme exprimant
une détermination qualitativement distincte de toute détermination finie, mais comme étant la base d'un système nouveau de
relations, noui: aurions besoin de nois assurer à. nous-mêmes
que nous avons effectivement accompli une infinité d'opérations;
et nous sommes incapables de nous donner cette assurance.
Nous comprenons alors pourquoi la théorie des ordinaux
transfinis s'est heurtée à des problèmes de caractère extrascientifique. Au lieu de s'appuyer sur la nature des lois génératrices
des séries, elle a été obligée de revenir à l'intuition directe des
termes; car les termes doivent être donnés antérieurement à
l'abstraction de l'ordre qui les relie, comme l'intuition des indil
vidus est nécessairement antérieure à la formation de la classe
que ces individuals constituent'. Or, tant que l'oin se contente
d'opérer sur des termes en nombre fini, on. peut'prendre pour
point de départ les résultats fournis par les processus de
l'abstraction ou de la généralisation, et se donner ainsi l'illusion
de raisonner a priori: le raisonnement sera inoffensif, pour
autant d'ailleurs qu'il est stérile. Il n'en est plus de mnême si
l'on veut considérer une infinité de terms: le raisonnement
promet ici d'être fécond, puisqu'il ajoute aux données de la
representation; mais il est suspect. Comme il n'a pas de garantie
à la base, il ne possède pas non plus le frein qui le retiendrait dans
le domaine de la positivité. La conception des nombres transfinis doit inévitablement s'étendre jusqu'i. embrasser l'ensemble
des ensembles, la totalité des ordinaux transfinis; et,inévitablement, comme l'a montré M. Burali-Forti; la contradiction
éclate ~ Un des traits caractéristiques du cantorisme, remarque
avec profondeur M. Poincaré, c'est qu'au lieu de s'élever au.
général en bâtissant des constructions de plus en plus compliquées et de définir par construction, il part du genus supremum
1. Qf. Gouturat, La logique mathématique de M. Peaito, Revue de métaphysique, 1899, p. 629 ~ Il nous paraît difficile de concevoir une 'elasse, et
encore plus la relation d'inclusion ou d'exclusion entre deux classes- sans
considérer les individus qui les composent.' ~