Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

CONCaEPTUAL`ME 'ET INTELLsTUALISMSE, '83
d'influence en quelque sorte individu-lle sur la determination
de la limited, Nousou uvons alors passer par-dessus l'infinité des
terms pour- opérer sur la limited, ou sur la somme, d'une telle
série, De là' importance décisive de la notion de convergence,
qui s'est manifestée come la base de l'analyse moderne.
La th6orie des ensembles, tant qu'elle ne dépasse pas ce
point, ne soulève aucune difficult qui ne trouve sa solution
dans la considération de larithmétiquef élémentaire on de la
géométrie classique. Et elle n'a pas eu besoin d'aller au delà
pour se rév6ler comme un instrument d'une admirable puissance; nous n'aurons qu'à mentionner ici les tra'aux de M. Baire
sur les fonbtions discontinues qui sont limites de functions corntiaues, ceux de M. Jordan et de M. Borel sur la measure des
ensembles, ceux de M. Lebeague sur l'intégration qui oat etu
pour résultat. d'élargir encore la conception de Riemann rt Ces
travaux ont reculé les frontières de l'analyse; mais ils n'ont pas
rompu avec les proc6dés cammuns de la science. On peut dire
qu'ils se meuvent à l'intérieur de ce qu'avec M. Lebesgule o
appellera la représentation analytique: ~ Je dirai qu'une function
est.représentable analytiquemeni, si l'on peut la construire en
effectuant, suivant une loi déterminée, lesopérations élémentaires
additionsn, sous reactions, multiplications, divisions) et des
passages à. la limited, en nombre fuii ou dnor;nbtrable, à partit
de constantes et' des variables, supposes eC n ombre fin p
dénomnbrable ~.
338, - La théorie des nombres transfinis rentrera-teile ga -
tmen.t dans le domain de la science positive? A -rai dire la
difficulté n'est pas tant de savor s'i. existe' un. comre trans l.
qua de de avoir s'il n exi.ls e plus d'.'n i. e st s. r qua a ri' ei deest
nombres natures, don't tous ies terms sont fini. s a poar 't
noembre infini de termes; mais il n'est pas sûr qu e e omL br.e
L, L'idé natrese e da e Id. Le biesgue peut; tre resume de ia frs.,ot isr-a..te:
Soit y uae fenûtio2 coi.ssan[e dn.ans unm,nteirv'lleo Au l;ieu.de parlir., cer.n':n
R3ilmann, dL ia devisieni en intervailes part, els, d, l'en.. tiltui1'0pr es tlo —
gueurs par l'une des valeurs yi de la forction dian chaque interval.e, in.versene.t- au depart on se donne la division des variations de la variation,
e'est-à-dire les nomrbres yt.,, Fouët, Leçons élémentaires sur tes finctin'ons analytiques, t..I (1r édit.), 1902, p. 2iS, n. 1. Pour une vue d'ensemnbe drte. ces travaux, auxquels sont consacrées les moneographies de M. Baire, Leçons suat les
fonctions discontinues, 1905, e( de M. Lebcsgue, Leons sur la' inégratioa. e. la
recherche des fonctions primitives. t1904. Cf. Borel, La ithéorie des ELenmbles et
tes progrès récnts de la thléorie des,fonactions, Revue génerale des sciences,.i9,
p. 321 et suiv.
2. Ciontributioî d l'étude des cotrrespondéces de! M. Zermeio, Bulletin de la
So.'i, tI mnaihain iti. qu e 97, 1p. 203. CL, Journal de MathéimaLiques, 1905, p. 145.