Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

CONCEPTUALISME ET INTELLECTUALISME 533
élémônts 1 ~, et M. Poincaré donne cette règle de ~.ne jamais
envisager que des objets susceptibles d'être définis en un
nombre fini de mots2 ~> Seulement cette règle si simple prête
dans l'application à plus d'une question litigieuse: ~ Car parmi
les mlots en nombre fini, objecte avec toute raison M. Winter,
pourront se rencontrer des expressions telles que saussi souvent
que l'onveut, 'aussi grand que l'on veut, ou des mots tels que
toujours, indéfiniment, irfiniment; sommes-nous bien sûrs, dans
ces cas, que la définition n'implique pas, au moins en puissance,
l'nEfinitd de mots qu'il faudrait éviter-3? ~ Y eût-il même quelques-unes de ces dernières expressions dont l'empiriste s'interdirait l'usage, il demure essentiel à sa méthode d'approcher
ctwiîant qu'il veut le calcul de transcendantes telles que x, ou e en
prenant un nombre de plus en plus grandde décimales; il est
clair qu'une semblable approximation n'a de sens que par
rapport à l'idée de l'opération exacte, que cette idée suppose à
son-tour la reality de la grandeur irrationnelle, telle que les
résultats de la géométrie élémentaire nous l'imposent. De cette
exactitude, come e remarquait déjà du Bois-Reymond,
l'empirisme ne peut rendre compte; il ne réussit à créer et à
-comprendre son propre langage que pace qu'il y sous-tend les
raisonneiments de l'idéalisme.
CONCEPTUALISME ET INTELLECTUALISME
336. - De ces doubles difficultés une conclusion se
dégage: ce qui a command l'alternative insoluble du renouviérisme et du cantorisme, conçus sous leur formne dogmatique,
ce n'a nullement été la science elle-même; c'était une conqeption de la philosophie traditionnelle où l'idée se définit par
sa matière. L'existence de l'irifini mathématique devait alors
reposer sur l'existence des éléments de représentation qui
peuvent le composer, de telle sorte qu'il fallait choisir: ou la
notion mathématique de l'infini était une idée positive, et l'infini
actuel -était représenté; ou l'infini actuel n'était pas représentable, et la notion d'irfini était une idée illusoire. Mais si on
suit une marche inverse de celle de du Bois-Reymond, si on va
Ade la science à la philosophie, il n'est plus siûr du tout qu'il y ait
lieu d'envisager le problème dan es les mêmes termes.
1..Les c paradoxes, de la théorie des ensembles, AanPaes. scientifiques de
'Élcole Norrnale,,1908, p. 446.
2. La Logiquee e l'infini, Revuee de étaphysique, 1909, p. 482.
3. -,rote sur 'linfiizi en mathnmatiques, ibid., 1911, p. 61 5.