Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

.b30 LES ETAPES DE LA PUlLOSOP4IIE MATHEMATIQUE
intermédiaire, comme uae sort d'idealisme ~. obscur ou
timide ~. Pour son propre corpte, il déclare s'en tenir à une
exposition neutre où le mode fondameptal d'intuition est empirste, le raisonnement idéaliste ~ language empirite, preuves
'a4. - Mais, du jour où, p 0ur prouver que tout ensemble
pouvail 6tire bie ordonnéa, il a fal, avec M. Zermelo, postuler
ia polsablit de choisir un élémient e distingué daons chacun des
eùlSanniles ' qui conmposent la totalité infinie des ensembles:
es Cmaaethmia..ciens.se sont trouvés brusquement obligés de sedépartir de cete riutulraîit', et ils ont incarné, ea les suivant
jusqu'au bout dans l logioque de leur rôle, les personnages
imaginPs par du Bois.Rey moU d..$da i M. Hadamard, 'axiome est vatakbe; mais il faut que
nous sachisons éc6arer la ~ question toute subjective Pouvonsno.us.rdonner ~ pour enons demanded seulement: ~ L'ordinatio
es~-lte possible 4? ~ Cette secosnde question est plus générale, en
efft,s que ia peremire, et elle peut être resolue $ans que: a pren;:mi.Se soit. V- L'idée de détermination, disait Jules Tannery, est
n ed6pnôeadainte de la possibi.ité de formuler en quoi consiste cette
i!tDtermbMon.,t Mi. iadamlaurd applique cette distinctions.a
p roblèise ie de-naerselo: ~ l1 n'este pas du tout évident que nous
puSions,j en faith, indiquer la loi qui uprésidera au choix de
l6naiéanent e dans chaque ensemble E. Mtais où yoit-oé qu'ui
'o< ait besoin de pouvoir êire explicitement formulée pour
exister 0 ~?
Seulemrent celte créance sur linfini — - quand o nle veut plis y
voi, eomme jadis, une créance sur Dieu qui serait réglée dans
l'éternit - ne- satisfait guère les nmathémiaticiens qui mettent
leur honneur à payer comptant et qui voudraient, eux aussi,
être pays comptant. MB. Borel object à M1. Zermelo que les raisonnements qui supposent ~ un choit ftrbiltraire fait une infinite non dénombrabe e de ois.. sont en dlehors du domainle des
matllétff;aiquesc t Ce niest pas tout, et le principle du doute va
pus loin que ce doute initial; iune intiit dé(nornbrable d'opérations Cst aussi impossible à rdalisr eiffectivernent qu'une
1. Trad. Milhaud et Gtrot, p. 120,
2. 16id., p. 130.
3. Voir lce t^cxte cité, ~ 251.
4. IBuletin de la Société marthémal ique de Franc i, 1905, p. 270,
5. Revue générale des Sciences, i807. p. 134'.
6. Ibid., 1905, p. 24l1. Cf. Bulletin de Ia Sfocl é, art. cité, p. 262.
7. Mathematische Annalecn,. LX, 19053, p. t5.