Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

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donie une base sulfisante pour resoudre le problème du rapport entre la géométrie et le calcul infinitésimal, ou plus exactenient pour rtecueillir l'enseignement que deloppeent de
la riathématique nous apporte à cet égard.
Deux fits, nous l'avons vu, dominent ce développement.
D'une part, c'est par la géométrie que la consideration de Fintini s'est introduite dans la science positive, et il y a là tout
autre chose qu un accident de l'histoire: à isoler l'analyse dans
un formalisme abstrait, on risque de faire dégénérer le passage
ià la limited et la détermination de la grandeur irrationnelle en
symboles ou en fictions, dépourvues de toute valour d e vérité.
D'autre part, c'est en s'arrachant à la tyrannie de l'intuition
géométrique, en s'imposant des méthodes autonomes de définition et de demonstration, que l'analyse moderne est devenue un
modèle de rigueur et de fécondité. Ces deux ordres de faits
seraient sans doute contradictoires, si on voulait en tirer des
conclusions absolues, si on se croyait tenu d'opter entre le
primat de l'intuition géométrique et l'autonomie entire de
l'analyse. Mais les études que nous avons faites nous fournissent, sémble-t-il, le moyen de les restreindre et de les éclairer
tout à la fois l'un par l'autre.
331. -En retraçant l'évolution de la philosophie mathématique depuis les premières speculations infinitésimales du temps
de Démocrile ou de Zénon d'Elée jusqu'aux découvertes d'un
Cauchy ou d'un Weierstrass", nous avons suivi la phase de
grandeur et la phase de decadence par lesquelles a pass la doctrine de l'intuition géométrique. Parce qu'ils faisaient fond sur
cette intuition, Eudoxe a pu comprendre dans une théorie gé.nérale de la similitude aussi bien les rapports incommensurables
que les rapports rationnels, Archimède a pu arriver à la measure
exacte d'une aire finie par la méthode d'exhaustion, Cavalieri
a pu corparer des aires en substituant des lignes à des surfaces
supposées d'une hauteur infiniment petite. Ces succès pratiques
ont conduit, ainsi q'ue l'a montré l'exemple de Pascal, ' la
fiction d'une faculty distincte de l'imagination et qui aurait un
objet inaccessible à la raison. Or une telle intuition est necessairement une, ~ maîtresse d'erreur ~, puisqu'elle nous invite à
trouver dans la réalité ce qui effectivement procède d'un dynamiisme transintuitif. En tant que la ligne donnée dans l'intuition
a une certaine épaisseur, la géomdtrie des indivisibles a bien pu
s'en servir comme d'un élément superficial; mais, a cause de
i. Vide supra, chap. ix, et chap. xiv Section C).