Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LA POSITION DU PROBLIÈME NON KEUCLDÏIEN 7
aigrification positive à la notion de parallèles, et rendrc le
postulat susceptible d'une démonstration rationnelle. Nous
n'aurons qu'à rappeler que, vingt siècles après Euclide, d'Alenmbert retrouve dans ces deux mêmes notions de la ligne droite et
des parallèles l'écueil et le scandale des Éeilémnnts de la géométriea.
Less systèmes géométriques, constitués l'un sur la négation de
luinicité de la droite menée entre deux points, l'autre sur la
négation de Ilunicité dans le plan de la parallèle menée à une
droite donnée, ne sauraient se confondre avec la série des conceptions que l'on peut créer par une fiction logique et qui, dès
leur definition même, s'interdiron, toute prétention à la vérité.
Quand nous parlons de droite riemannienne ou de droite lobatschewskienne, nous savons, en un sens!i est rmme exact que
nous pouvons voir, de quoi nous parlors: car l'expérience
spontanée nous fournit tout autre chose que l'idée euclidienne
de la droite, et il est intéressant de noter que cette constatation
a été faite par des observateurs pénétrants, bien avant qu'on eût
conçu la géonmétrie non euclidienne: ~ Reid, écrit Ampère dans
son Essai sur la philosophie des sciences, a montré que si
i'homme était réduit au simple sens de la vue, ne pouvant dès
lors connaître que l'étendue superficielle à deux dimensions et
prenant pour des lignes droites ce qui serait réellement des arcs
de grand cercle tracks sur une surface sphérique dont le centre
serait dans son ~eil les triangles qu'il considérerait come
rectilignes pourraient avoir deux angles ou même leurs trois
angles droits ou obtus, et que la géométrie d'un tel homme
serait toute différente de la nôtre; deux de ces lignes qu'il }piren.drait pour droites se rencontrant, par exempl e, t}ujo0rs- en
deux points, en sorte que la notion de deuxs doites.paralfèles
serait contradictoire pour lui. ~ iLa géonmétrie d<u pliaa iie maa.nien permet d'interpréter cette divination psyehtologique: Si
nous suivons du regard dans l'azurr du ciel deux dlirectionémanant d'un même point de l'horizon. nous ahoutissoas a lfin en un point oppose de l'horizon, conmme si lnous avions suivi
(ieux droites riemanniennes'. ~) Une observation analogue pew.
être faire pour l'idée euclidienne des parallèles:,, peux oIng;e.
1. Vide supra, ~ 187.
2. VKi sapra, ~ t 78.
3. T. I, 183y4. p. 6T,~ité piar Maisionl, Beswae:Not-',il;ta i.e, i, ): i 2'-5
u. i. Le passage de I ^id, natquel:nip ert rav.vfie'::e irolul'-: dta'!' -
Fecher ch s sur f 'e tendement hltm ii e VI, cri IX. L'i r' c fie'i Ï;:;i::.t,;
uavres, tr. Jout.roy, t. t11 1828. p. 186.
4. Mansion, -p. cl!, p. 2530.