Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

492 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPuIlE MATHTEMATIQUE
concevoir différentes espèces de rapports ome comm nséquences
naturelles de la division que not,.s devons effectuer,sur des
nombres. En fait, ces rapports entre restes et modules fournissent la matière d'une théorie comme celle des congruence.s
30. - Or, une fois que ces dîff6rents rapports ont été conçus,
l'idée de fraction est-elle acquise? n'y auraitil plus pour constituer la notion de fraction qu'à créer une expression symbolique
de ce rapport? Par exemple (2: 3) désignera le résultat idéal
d'une division non effectuée; et si fous décidons de fonder sur
cette combinaison de signes ipI calcul comparable au calcul des
units numiériques, nous pourrons poser le postulat suivant:
(B':5) X _ 2; d'où nous pourrons déduire, en nous appuyant,
sur les rapports des operations dans l'arithmntique élémentaire,
les règles des operations relatives - ces expressions nouvelles.
On aurait ainsi justifié 1e calcul ies fractions. En effet,
commr e ie dit M. Riquier, ~ le point d ue e arithmétique...
conduit exactement aux mêmes rgieoes que le point de vue
physico-aritmétmique auquel on se place presque toujours ~,
Et il ajoute: ~ Bien qu'en fait la notion de fraction ait sa
source incontestable dans la recherche d'un procédé commode
pour mesurer les grandeurs concrètes, on peut lui assigner,
corner origin logique, la recherche d'une commodit.analytique i. i~
Du point de vue V o nous nous sofmes placé, nous tirerons
de ces remarques une conclusion conair lle el de leur
auteur. Pour nous l'arithmeétique des nombres entiers est ddéj
une discipline physico-arithmiéique, et c'est ce qui en faith la
valeur de science. Des lors, si nous voulons conserver cette
valeur, nous devons maintenir dans le domaine des fractions le
inme ordre de connexion que daî.s le domaine des nombres
enters, et concevoir qu'aux transformations mentales effectuées
sur les expressions fractionnaires correspondent des transformations effectuées sur les chose eUles-mêmes.
306. - Nous lnavons pas besoin d'insister sur le caractère de
ces dernières tr' n aso rmations, le mo mt me de fraction '"iffit à
en indiquer la natur e élémentaire. Il y a une foule d'objets qui
se présentent avec cette double propriété que cbacun d'eux
const.lixe une individuality unique et qu'il est susceptible d'êetre
brisé en. un ertain. nombre de pairiis. Lorsque la division mentaie ne dùronnerait, à sivr.e les lois qui régissent les 'nombres
1. i ' e l'id e d tombre conslid&J'e c'ime Jbnd:meint des sciences maatimnaaiiqes,
Rtic ue de nmiéphîtysique, 189s, p, 348