Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LES ELEMENTS DE LA THÉORIE DES NOMBRES &89
et, de fait. dès la forme 2 1-4-i l'affirmation se trouve en défaut,
conmmle Euter s'en aperçut quelques années plus tard. Tandis
qlue 2 -,Z" + ~i,2 +4 i,2 — 1, 1 sont [des nombres premiers, il se
troupe - ~ je ie Sais pourquoi (nescio quo falo)'1t - que e i+ i
n'est pas un ombre premier; ~ j'ai observe, en m'occupant de
problèmes bien ditffrenLs, que ce nombre (429496'7297) est
divisible. ar 641. ~
302. - Que anticipation intuitive ait risqué d'égarer celui
enf qui Pasca: voyait ~ le premier homme du monde ~,, c'est, à
coup sûr', ce qui peut.!e mieux suggérer aux profanes l'idée de
ha difficult que présentent dans ce domaine les demonstrations
détdufive s, et de la diversity des méthodes qui doivent être
utiis6ées b cet_ égard.
Parmi ces méhodes, nous relèverons celle qui nous paraît
caractériser avec le plus de snetteté la spécificité de la théorie
des nombres par rapport à la conception commune de l'arithméiique: c'est celle que Fermat appelle descenie infinie ou indéfinie. Par exemple, pour faire- la preuve de ce théorème: -~ tout
nombre est carré ou compost de deuxS, de trois ou de quatre
carrés ~,, Fermat. établit ~ que, si un nombre donîé n'était point
de celte nature, il y en aurait un moinIdre qui nee e serait pas
non plus, puis Xu troisième moindre qie le second, etc., à
l'in6fni; d'où V'on infère que tous les nombres sont de cette
nature 2:~. Cette infé'rence est le véritable raisonenee n par
recurrene. Come la t. duc.,ton progressive qua est le ressort
de 1' ~ iriduaion con, plte, elle implique la conâsid ration de
'linflni; mais al'ini tfroue s'y tr m ié que m0 sos forme négative, pour aboutir à une lo me de reduction à l'absurde. Un tel
raisonnement ne <d:épasse1 don e pas fulsage que. les anciens
faisaient de l'in;fni' et de fait, commre G ennochi l'a reconnu, il
a été erploy6 patr Ectlide. Pour démontrer que tout nombre
comnposé A co mprend parmi ses diviseurs.n nombre premier B,
Euclide fait voir qu' autirerment ie nombre A aurait ae infinite de
diviseurs, tou.jours pn.s petit es eu s us ue les auitres, Coniclusion
1. Obsfervatites d" se ieete e roadamr Fernatiano, ai' sque ad name.os primos
speettitibs'. (ti3). -lomment.larii Aeademie Seientiarum tmpetrials Petropolitan:, t. I, Saint- P>tcrsboorg, 1i738, p. 1i0.
2,. elOtiwin, d;T n' z. ae, er... i. ertes en la science des nomb'es, à Garcavi
(août 1Î59), 4dli. liery~ -Tan~ ery,.. I!, p. 433.
A. AanI i d schie'sze maitematiche e fisiche, Romne, t VI, 8 557 p. 306,
"f. Vac.'ai, tIv.ep dçJe m tap.hySi1que, tii, p. 25.
4. VTf,.3, edîi't. eti ',ir g, t. II, p, 20,