Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

3S nLES ÉTAPES DE LA PHILSSOPIE MATXIEMATIQUE
RPOlaoREfSSINS ST M EDIDT'S
21. -- La théorie des nombres parfais manifeste d'une façon
saisisant e Ie caractère spciéfique de: 'arithmétique grecque; le
savant eact. au jour la structure interne des nombres, de la
même fa,Ar r qu'il observe les propriétés des- figures gor0mé
triques, ou qu'Ei décrit la forme des constellations cé sites.
A cette ma6éhode est due la partie la plus solide et la plus belle
de la doctrine py.hagoricienne, cello dt'où se dégagent des
lois compatible en simplicity et en fécondité aux formules de
l'l3gèbre smodtrne,
On prend l'unit, pnt p or int de depart; on ajoute à l'unité la
séi tre ascdante des nonbres impairs; la progression arithmétique que 'oa forme ainai jouit de cette proprieté qu'à chacune
des tapes o s'a re tr, -a o ima de 1 it et les no bres
-ip.pairs consitune In notabi'e ctaré
ti.: 3 J 5 X
3 4 ^ —, 43 - -l- ' {6
i - 3 -+ 54 4 1 9 2
et que tou es os nombres car s soni donnés par ce processus de
formation. (fig. ~). Par la seule corssidéreatrion d'une progression
arithn.ti tique se trourvent dono constiées t:Loi s.its sr..es
carries qui.ont pout r ô 6ts d es noblr'es ntiers. De plus, puisque
l'addition successive d'un nombre impair 5, u 9, permet de
passer d'un carré 4, 9 ou 16 au carré suivart, 9, 16f o0. i5, toat
nombre impair se définit comme la difference de deux surfaces
earrées ayant respectivement pour côtés deux enters onsco
cutifs, c'est-4-dire cormme un gnomoR. Cette definition gê6oné
trique explique la constitution interne du nombre impair; il et
la somme d'un cartré yant l'unBit pour ct6é, e de deux rectangles égaUx. dost ibe eas ps etit t ôté est g rI i tnnité
5 == i 4 -- 9, i- 4;.3 ~,8;8 J= - 4
Si nous additionnons d'autre part ies nombres pairs cons6 -cutifs, nous obtenons une s'rie' de u omb.res qui sont des
sommes de progressions arithm4tiques, et qui sont en méêrme
temps des produits et paUr ccntséqnt des surfaces; use'le-ent
es -fctie!ur de ces r produitvs sont égaux l'un à la moitiéê du
denier nombe pair Bde la progression, I'autre à ce premier