Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LES ELEMENTS DE LA THEORIE DES NOMBRES 8S
Ifrai; la relation soustractive est_ pourrait-on dire, une autre
façon de lire la relation additive; et de même pour la division
par rapport à la multiplication.
Seulement, s'il y a symétrie parfaite dans les principes, une
dissymétrie remarquable va se trouver dans les conséquenceso
Entre entiers positifs toute relation d'addition, ou toute relation de multiplication, reproduit un entier positif. Il n'en est pas
de même pour la soustraction et la division; ici on se heurte à
des impossibilités, devant lesquelles pourtant l'esprit humain
ne peut s'arrêter définitivement; il faudra qu'il brise le cadre de
ses préjugés et de ses categories, qu'il renverse les barrières oùi
il aurait aimé à s'enfermer.
Pour l'étude des fonctions de l'intelligence mathématique,
c'est à la consideration de la division que nous devons-nous
attacher en premier lieu. De fait, nous avons vu apparaître, dès
l'époque du papyrus de RtZhind, les calculs d'ordre pratique qui
ont donné naissance à la théorie des fractions, dès l'époque
pythagoricienne, les considerations d'ordre spéculatif qui ont
donné naissance à la théorie des nombres; et cette antérioriot de
1a division, par rapport à la soustraction, a laissé une trace dans
les habitudes des mathématiciens qui rattachent à l'arithmétique les nombres fractionnaires, à l'algèbre les nombres
négatifs.
LE-S ÉELMENTS DE LÀ THÉEORE DES NOMBRES
30}. - Peut-étre rendra-tion raison de cette antérriorté en
observant que, si la division est techniquement moins facile que
la soustraction, elle correspond à une operation que les besoins
de la vie sociale devaient faire apparaître d'assez bonne heure à
tire d'acte nacesaire et d'acte simple l'opération du partage
entre plusieurs individus; operation qui, comme ceile de
l'échange, impliquait naturellement le maniement des objets, et
qui,s 'accompagnant ainsi d&un jeu d'images nouvelles, apportait le soutien d lt'intuition au processes de l'intelligence.
D'autre part, les cas d'impossibilité auxquels on se heurtait
presque immediaiement ont présenté un tout autre caractère
pour la division qu, pour la soustraction.
La soustraction est iaritihntiquement impossible quand, de
deux nonobr.es quelconques, celui qule l'on deavrait rctra-nc her se
trouve plus grand que l'autre: l'ilmpsibilité ne tient nuliement
A ce Iqu'il s agit'. de:el ou tel noinibre.. en est tout autrement
pour la ivi ion; des dis isio qui puvent se lfaire eac