Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

484 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉEMATIQUE
caré, qu'il n'est pas besoin d'un principe synthétique nouveau
pour passer du procédé qui définit lés nombres entiers finis au
procédé de raisonnement qui s'applique à ces nombres finis,
pour démontrer l'associativité et la comînutativité de lFopération additive- ou encore, suivant l'exemple mxme donné par
Maurolico et par de Morgan 2, la formation des carrés consécutifs pari a sommation des nombres impairs.
Mais i ne servirait à rien de dire que application du procédé
nest que la consequence analytique e a- definition du nombre
entier, puisque la méthodologie logistique a fait heureusement
justice de l'importance philosophique autrefois conférée à I'ide
de definition. Riehl cite ce mot profond de Lanmbe t: ~ La base
de la science, ce n'est pas la definition, mais ce qu'il est nécessaire de savoir au préalable pour constituer la definition 3. Le
principe de la synthèse est déjà dans le dynamisme intellectuel
qui crée la série des nombres naturels; et c'est pourquoi il
s'6tend come de lui-même ' celles des combinaisons arithmétiques qui sont du même ordre que les opérationseonstitutives,
addition ou multiplication.
SECTION C, - La division.
299. - Si l'on commence par supposer que l'arithmétique doit
être la consequence purement logique d'un principe posé
a priori, on comprend que le débat philosophique se soit concentré sur la nature et sur la valeur de principe d'induction
completee. Mais si l'arithmétique est une science capable de
réfléchir sur ses notions fondamentales et d'en approfondir les
caractéristiques objectives, il se peut que la vérit4 soientifique
soit capable d'une extension qui déborde le cadre de l'induction
complète; et c'est ce qui se produit en fait dès que l'on considère
la soustraction et la division.
Pourtant, d'un point de vue purement formel, il n'y a là rien
qui soit proprement nouveau. P>uisque l'addition eL la multiplication sont en réalité des relations primitives qui sont antérieures ' la conception du nombre conmme tel., es relations conduisent in'médiatement à la relation inverse. Dir qe q frois plus
un constitute quatre, c'est dire que quatre moins ui constitue
1. Voir en particulier Couturat, 3PoIr la fogisteiq ue t dC mnetaphysique,
1906, p. 249.
2, G. Vacca, lou. ci., p. 31,
3. Der phitosophische Kriiicismus, 22 édit:. L. 1, p. 227.