Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

L'A VÉRIT DE L'ÉCHANGE UN CONTRE UN 469
288. --- PIPeutre, -si l'on développait toutes les suggestions
auxquelles se prête la considerationn.de l'échange un contre un,
y verrai.ton poindre l'idée de linfini et l'idée de zér.o. Il suffit
de supposer deux partenaies n face de arcadises accumulées, cdeux enfants devant deux gros.tas de cailloux, et de les
imaginer s'arrêtant, découragés, au milieu d'opérations qui leur
semblent interminables, pour faire.surgir la notion d'infini sous
la forme la plus simple où ele apparaîti dans la conscience du
mathématicien..: le terme de l'opération fuyant devant l'esprit à
measure qulilfavanceet par le.fait même -qu'il avance. C'est cette
notion.à laquelle conduit le progrès. ilimité de la imumération;
mais on voitl qu'elle est indépendante de la constitution d'un
système:déterminé de nunmération.
D'autre. part on arriverait à concevoir la genèse du zero si
l'on.attribuait aux deux partenaires de l'écchange -une intelligence suffisante pour considérer leurs rôles respectifs, et se
mettre, en pense,.chacun à la.place de l'autre. L'enfant qui
change des sous;contre des pommes, comprend que le marchand échange des pommes contre des sous. L'opération
unique se dédouble alors en deux -processus dirigés en sens
inverse; distinction qui peut avoir une application pratique dans
le cas où les deux parties en présence -seraient:mnécontentes du
résultat et-s'accorderaient, une fois l'échange.;ait, pour annuler
leurs operations. Elles se- décident alors à les recommencer en
sens inverse: l'enfant échangera des pommes contre des sous
ainsi qu'avait fait l: mr d; e mar le marchand échangera des sous
contre des pommes ainsi qu'avait fait l'enfant. Au terme de.ce
second éclhange, -ils auront tous deux le sentiment que leurs
positions respectivies sont identiques à leurs -positions initiales,
que tout est entre eux conmme s'il ne s'était rien passé. Tradiisez ce.sentiment dans le langage,que la mathématiquese
daainera: plus tard, et vous obtiendrez du zéro l'idée la -plus
abstraite, mais aussi la plus precise et la 'plus intelligible: -e
a-ésultat fourni. par la combinaison de deux -séries formées
d'éléments identiques, mais orientées en -sens inverse l'une de
l'autre.
289. -- I1. é.tait tile de montrer quelle fé6ondité comportait
-um processus d'actiVité -mentale antérieur. -toute.prescription
technique, à tonte notation symbolique. Mais ce qu'il imported
de retenirpour l'intelligence de l'idée desscience mathématique,
ceest, avant. stout que eette activité6.donne.naissance à la;:relatioa
fondamentale d'égalité, et qu'elle la fait naître en lui communiquant, dès l'abord, une vérité inte-rae. Les tas.qualitativement