Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

36 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE
a été atteint et défini; ces operations décident de la forme du
groupe de points qui constitue le noambre dans son essence. Et
comme la plus simple et la plus féconde de ces operations est la
duplication, le principe de la classification pythagoriciennne est
emprunté à la consideration des nombres qui sont produits par
la duplication, et susceptibles par suite de dimidiation. Le nombre disait Philolaos, a deux formes propres, l impair et le pair:
"0 yx -ov ptô l oo è &;pios s 'uiS, âro;plrv oVl d p'novc. A cette
distinction correspond une opposition fondamentale qui, dans
la jeune école pythagoricienne au moins, rejoindra l'antithèse
eosmologique du limité et de l'illimité, et fou'rnira unrbase àa
table des dix oppositions, qiu'Aristote nous -a-transmise 2.
On peut entrevoir, d'une façon.encore grossière sans doute,
comment la connexion s'est établie entre l'impair et le limits
d'une part, entre le pair et l'illimité d'autre part, si l'on considère les classifications numériques que les historiens de la
mathématique rapportent aux Pythagoriciens. Déjà Philolaos
ajoutait au pair et à 'imapair une troisième espèce: l -pox.p7ov~. Cette dénomination qui a été quelquefois appliquée à
l'unité a, désigne aussi, suivant Jamblique *, les nombres pairs
tels que 6 ou 10 qui à la premiere dimidiation âonnent des nomibres impairs. A cette acception se rapporte la distinction entre
les n'ombres pairs qui comprennent parmi leurs facteurs un
nombre impair intervenant à un moment donné pour mettre un
terme à la ditnidiation, ErsCpOâtci,, et les nombres pairs qui ne
sont pas sujets à cette limitation, qui se résolvent complètemnent
par dimidiation,.pTiraK c pr' {.i.
D'autre part, à cot de la duplication, outde la dinidiatior,
l'addition joue un rôle dans la formation pythagorcienne des
nombres; Philol'os exaite a. decade, no.rme de l'univers, puis
sance ordonnaitrice des hoinmes. ti des-dieux M ysa', y&p z.a,
7taV'T~yiç îacl ata}-Tao0e.p p al s.iij, xa.ti', d t < tt ) XiU a:tal àvôpùj>'tIVt) ~p/ xal
àY,/<Uv xOivcovoUh.. 8Av?'.j; x.'c rX:~; xS:X(. i La vertu de la decade
est qu'etant const tuée par la sonmne des quatre premiers
nombres-i.- 2-+-3+-4, elle enferme la nature des diverses
1. Diels, op. cit., p. 240.
2. Met., I, 5, O821 22. Cf. Zeller, Philosophie des Grecs, trad. E. Boutroux, t. 1,
1877, p. 343.
3. Tihon de Smyrne. Éd. Hiller, Leipzig, 1878, p. 22. Cf, Zeller, tr. citée, t 1,
p. 383, n. 3.
I. In Nicom Arithm. EdL'Pistelli, Leipzig 1894, p. 22.
5. Nicom, Arithm. sa. ad. Hocbe, 1866, ~ X, p. 21 et suiv.
6. Ibid., ~ VIII, p. 15.
7. ln Diels, p. 243, ce. Arist., Met. I, 5, 9860 8.