Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

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cette confiance n'est à aucun degré un acte de foi mystique
dans le génie; au contraire, elle atteste la sécurité morale que
le génie nous donne en assumant, dans l'ordre de la science ou
dans l'ordre de l'art, 'obligation de fire la preuve ' Racine travail.era 1' ~ décriture ~ de sa pièce et ui donner la.a perfection
qui est le caractère de son oeuvre, cor r e M. Po:ieard saura
rendre sa demonstration irr6prochable,
La divination, qui voudrait se placer au-dessus (du raisonnement, serait suspecte; chose remiarquable, eile sérait d'autant
plus suspect, aux yeux des repreéentints les pins autorises de l'iituitionisme mathématique, qu'elle pritendrait
s'appuyer sur les propriétds appartenmant aà objet d'intuition.
dans le sens original du mot. Sur ce point MM. Klein et Poincaré s'expriment en termes analogues e Sielo n moi, dit
M. Klein, dans notre intuition naïve, lorsque nous pensons à un
point, notre esprit ne conçoit pas un point mathématique
abstrait, mais substitue a cette abstraction quelque chose de
concret. Quand inous nons figuron ligne, ce nest pas une
longueur sans largeur que nous nous repr sentos, mais 'une
bande ayant une certaine largeur. Or une telle bande a naturel]emen t toujours une tangente1. ~, -Cnom meet, écri t M. Poincar
a propos du même' exemple des fon cti a s 0conltim-es sans
dérivées, l'intuition peut-elle nons,tromper a ce point? C'est
que, quand nous cherchons à im-aginer une courbe, 'nous ne
pou'vons pas nous la représenter.sans paisseur; de mrn e,
quand nous no us représentons une droite, nous laiv yons sous
la forme d'une bande rectiligne d'une cert;aie alar er.- Nous
savons bien que ces lignes n'ont pas d'6pa s eur; noUs nous
efforçons de les imaginer de plus en plus miices et de nous
rapprocher ainsi de la limited; nous y parvenons dans une cer,
Ilaine measure, mais nous n at tendrons jamais cettê limited. ~
C'est une nécessité que la mathématique, pour s'éprouver et
pour se constituer -comme science,, passe, seloln l'ingénieuse
terminologi de de. Klein, de 1 inFluiion naïIve à celte intuition
raffiné'e qu'il retrouve à Il'euvre dans la géométrie d'Etlilde
comme dans l'analyse de Weierstrass. Or, i -l'nuition raffinée,
ajoute M. Klein, n'est pas du toùi, à pr'oprement parler, une
intuition; elle tire plutôt son origine du développement logique
d'axiomes regardés comme parfaitement rigourelux -~.
1. Conférentes au Corngrs de Chicago (i893), tratd, Laugel, 88, p. 42.
2. Le rl!e de 'intuition, loc. cit., p. tl9 e p. IT Cf. Lt't rie mathdm~tiïque de
Weierstrass, Acta Mithematica, t. XXI, 8ip,,. 5.
3. Op. cit., p. 42.