Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LA SOLUTION DE' L ~ ( IPIMIN!DES ~ f;3
aucunce fonction se rapportant au type cornsiVtdrr 5 dans so
ensemble1 ~..es fonctions qui prenn. ent place Lans uttne ser —
heblae! hirtr..i e tli sont appelées foncion, pé.dic.ai..S '.. il.i s.e
déifîiserd. co.ime étant de i'ordlre iméndia.teent: pilus evi é:'
que l'r:rir de e leur argiiment, c'est —dir' e'omm.nr 'tant ~i de
'iordrC le tplus petit qu'elles soient oblig.eL.s d'avoir p:our:' posseder c(et argutnientl) 2. Or, peut-on af.irmer que pour toute
fon)ction propositeonrielle:x, il yU aura ue fno action prédicative
formcllement éqnivalente, c'est-à-dircl:e n fonctlion priédicative
vraie quand?x est vraie, et fausse quain elle est fausse '; ^
priori, nous n'en savons absolument rie.. Mais s'il apparai t aux
logisticierns qu'il est nécessaire de poser une pareille aff'rmation
pour ~. que les mathé~rmatiques soient possibles4 ~, alors on
l'introduira dans les principes de la logique symbolique, cor.nre
u'n axiome;axiorne de reduceibihte, qui aura touts ces
d'ê tre vrai.
Au conirftir'e, il n'y a pas d'opération plus ifcile concevoie
que la nultiplication logique. Mais est-il lgitirrne de ehoisir
darns un ensemble' infinxi e classes un merlmore qui. reprdse, nte.
chacutn d('Ves' A' ette dquetes tion, nous tl'avons vi ' auicnne
evidence immdiaft;e, aucune demonstration sol:ide 'a po r'ei ir
de réponse. Tout ce que nous pouvons dire, c'i, qne a lé giimité d'une semblable operation a été postulée par N. Whil:eeadb
af-in d'identifi er les d e x definition dex d'nfi ni -. I'-urte -. e,ativ,,:
le nomnbre i i îni n Ores m pu. le pr: orr p.le icd'induc.ti.on
complete, < qui ciaracttrise les nombres finis.-. I: -i,' o sfpsftite V
le nombre infini est l'ensemble equivalent à u neY u Ip.. it:..ira..
d-e lui-mrme. Seulement l'identification de ces deux dlfititmons
est elle-même iD probltne. En 1905, M. Coiaturat -a bien.'
en principe qu C on ne peut pas, admettre dcinx diirl xions différentes de i'infini. ~,, Mais en 4911 M. Russeli recnnaa! que les
~ deu'x defini ions nt son.t pas forcémeat identique >r^,," - i
ajoule Iqu' ^, i n'y a d aileurs aurcune raJsois de les int!ifiXer >
Du plan de l'ypotithse susceptible d'être éi e par s, C.osiq'llences et, d 'atquert ainsi une valeur sc ientfiqe l' axio4
1. La théorie des types toqgiques, in Revte de m&ta phyfdsct. e,!in, p. 28t.
2. Ibid., p. 28t.
3. Principia, p. 58.
4. Ibid., p. 113.
5. Vide supra, ~.251.
6. On cardinal numbers, Amerriean Journal of Maihematlis, tl xxsv, 1902,
p. 367 et suiv. Cf. Couturat, Les principes, p. 65.
7. Les principes, p. 6t.
8, Bulletin de la Société de philosophie, 19it p. 71