Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

420 ÏLES ETAPES DE- LA PHIiLOSOPHIE MATHREMATIQUE.
abstrait de n 'dimensions. Une fois arrivée à ce coI)ncept, la ph.ilo
sophie lgisique vise à le rendre indépendant 'de- l'applicatin
proprement géoméltrique q ui en est la raison d'être. Par exemple, si l'on dresse la liste des postulats nécessaires pour l'analyse
td'un espace projectif d'un nombre infini de dimtensions, espace
project if absolu suivant l'expression. de M. Pieri, on constate
qu'on a b.esoin de 17 postlats; et comme il en faut 19 pour
d6finir lrespac: e projectif à trois dimensions, on en conclut avec
M. Coutuira ~< qu'au point de vue logique celui-ci est, moi. s
simpl e que ce l-là 1 ~.
De ce poin-t, de, ue encore: < on pourrait presque dire'que ai
théoriLe Udes ombres infinis est plus simple que celle des norabres finis, pui qu elle n'a pas besoin, comme celle-ci, du principe d iruction, et qu'on peut l'rtablir sans passe r par la théorie
des nonmbres fintis u ~, Mais sous cette simplicity apparente se
di.ssixmtuent des difficultés que le développernent de la thèéorie
des ensembles a eu pour effet de manifester. Pour fonder
~ i>.Arithrmhtique générale où 'on dtéfinit tla somme, le pro4dultl
et la puissance des nombres cardinaux, finis ou infinis ~, un
postulat. est ~ indispensable ~., celui qu'a. explicit M. Zermelo
en 1904 (. Étant donnée une classe de classes exclusives non
rnlles, on peut extraire un,élément de chacune'd'elles'. ~ Tant
que le nombre des classes est fini, la légitimité de l'opération
est intuitivement évidente; pour un nombre infini de classes,
elle résste à toute tentative de démonstration.
Ou e ce soit donc dans le domaine de la mécanique rationnelle,
de la géométrie ou de l'analyse, nous retrouvons une êmme idée
à la source de- la nmtaphysique que le réalisme logistique a
superposée à la mathématiqie: l'idée d'une deduction progressive capable de se conférer à elle-même une valeur absolue; et
cette idée est la' raison profonde des contradictions que le
I. Les principCs p. 157.
2. Ibid., p.-67, note 1.
3. Ibid., p, 223.
4. Ibid., p.224, note 3. Voici comment le principe se ctrouve formuie par
M. Zermelo, dans l'extrait de sa lettre aà Mi H2ilbert, publié6.en 90 par les
Mathematische Annalen: Beeweis, dass jede Maene wo;igeordnet wetrden katn
~ Der voriiegende 'Beweis beruht... auf dem Prinzip, dass es.auch tr~i eirte
unendliche Gesamtheit von Mengen immer Zuordnungen gibt,.bei denen
jeder Men ^e eines ilirer Elmente tentspricht, oder formal ausgedrclit, dass
das Produkt einer unerdliehern Gesamtheit von Miengen, deenjede mindestens ein E'lemeat enthalt, selbst von Null verschiedn ist. Dieses logische
Prinzip, ajoute Zerrrtelo,.lsst sich zwar:nicht auf' ein noch emi'atcheres
zuruckfuhren, wird aber inl der mathemratisehen DedUktion uberall unbcdenklich angewendet ~,(T. LIX, p. 5i6.)