Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LES DIFFItCULTES DU,REALIME DES CLASSES 409
qu'il cn ent encore un, quand les objets sont en hnombre infini,
il- faudrait qu'il y eût un infini actual. Autrement tots ces
objets ne pourront pas être cons comme posés antérieurellent
à leur définition, et alors; si la definition d'une notion Ni depend
de tous les objets A, eile peut. être entachée de cercle vicieux si
parmi les objets A il y en a qu'on ne peut définir sans faire
intervenir la notion N elle-mê-me. ~
De f'ait, d:s 1897, c'est-à-dire quelques années avant que
M. Ru3sell eût signal dans les 1travalux de M. Cantor l'n des
grands événements de la pensée humaine 2, 1un logisticien italien,
M. Burali-Forli, avait dévoilà l'antino-me a laquelle menait la
considération: de la totalité des ordinaux transfinis': ~,Cantor
avlit démontr que les nombres s orditaux... pe:avent être rangés
en une série lnéaire, c'est-à-dire que de deux hombrers ordinaux
inégax, il y en a toujouIrs un qui est plus petit que l'autre.
iBurai-Forli dmeonotre le contraire; et en efet t l dit-il en substances, si on pouvait ranger tos les nombres ordinaux en une
série linéèaire, cette srie dé i finirait un nombre ordinal q ui serait
pis grand que- tous les autres; on pourrait ensuite y ajouter
et on' obtiendrait encore un nombre ordinal qui serait encore
plus grand, et cela est contïandictoire''.,
Sur quoi M. Russell proteste avec vivacité: ~ Dles insolubilia
considers par les anciens, aucun n'i-ntroduit l'infini; et il est
singulie-r que M. Poinicarè cite 'limnicomme analogue
ceux qui se présentent. dans la théorie du transfini.:.. Une simplification de ce paradoxe est constitute par l'homme qui dit Je
men8s s'il ment, il dit la vérité; mais s'ii lit la vit6 il ment.
Est -ce qe cet honmme a oublié qu'il n'y a pas d'infini actuel?>,
Ce qui revient à dire que la source de la contradiction est à
chercher, non pas dans le problèime particulier de i'infini, mais
dans la position générale du: ralisme.
46. - Et en effet, si l'on se demand pourquoi cette simple
assertion du Je mens suffit à mettre en déroute la philosophie
réealiste, on trouvera la réponse dan les Recherches seur 'entenadement human d'aps les principes du sens common,. de Thomas
Reid (1763). Avec une charmante bonhomie, Reid explicite les
1. Revue de métaphysique, p. 1i06, p. 316; et Science et méthode, p. 212.
2. Cf. International monthly, Burlington (Vermont, E. U.) juillet 1901, p. 89... Cf. Una question sui numeri transfiniti, Rendicorti del Circolo maternatico
di Palermo, t, X, 1897, p. 164.
4. Poincaré, Revue de métaphysique, 190(. p. 303; et Science et Méthode,
p. 201.
5. Revue de métaphysique, 1906, p. 633.