Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LES DIFFICULTES:DU AÎISM s,Ea CXJLA8SSES 407
par' le procédéd du: calcul. Tout ce qui peul éire com;pt doit i f'tre
q.u'.lque chose et doit certainemeunt dre., bien qu'il n'aii. nullenment besoin de posséde. en outri e le privilege de l'existence,,.
Or, au prix môme3 de ces concessions, la logique mathém-atique
des classes n'6vite pas le naufrage final On ne peut pas aicever
la constsitution di' systèmie des classes sans se heurter à la contradict!ion qu1i imet en péril léqtuiiibre du systèmule. Par exenmpe,
poIurt pretdre ta forme la plus simple (de la contradiction, ~ un
concept de classes qui n'est pas un ermer. de sa propre extensionf
apparaît comme unf a concept dJe classes. 0Or, s'il y a un termne de
sa Dropre extension, il y a un-. concept de classes qui n'est pas un
term de sa propre extensioini et vice versa, Ainsi nous devons
conclure, en dépit des apparences, qu Un concept de classes qui
n'est pas un terme de sa propre extension n'est pas un concept.
de class,. -- Une semblable remarque s'applique, naturellement, au système que doit former la totality des classes logiques: cette otalité forme u.ne classe, qui existera en tant
qu'elle est la classe de la totality des classes, et qui n'existera
pas puisqu'elle n'est pas comprise dans la totalité des class Ls.
244. -- Au lendemain de la publication du premier volume des
Princtiples of mathematics, toateo l'oeuvre philosophique de la
logistique est à refaire. Sur quelle base? Après avoir cherché
des demi-mesures, en renonçant à l'homogénéité des prineipes,
en limitant à un certain degré de simplicité ou d'étendue la
portée de la théorie3, M. Russell a reconnu la nécessité de
sacrifier la notion de classe, du moins à titre d'entité indépendante. (~ Une analogie nontrera peut-être clairement que ce
changement n'est pas si grand après tout. Le calcul infinitésimal, ou le reconnaît universellement aujourd'hui, n'emploie
ni ne suppose les infiniment petits. Cela a-t-il beaucoup changé
l'aspect d'une page de calcul infinitésimal? Presque pas. Certaines demonstrations ont été refaites; certains paradoxes qui
troublaient le xvmiwe siècle ont été résolus; pour le reste, les
formules du calcul n'ont guère changé.,. Pas plus que la theorie
moderne du calcul infinitesimal n'est destinée à: ruiner l'ceuvre
de Leibniz et de Newton, les principes que je propose ne visent
à ruiner l'ceuvre de M. Peano '
1. The principles, ~ 7t, p. 71.
2. ~ 101, p. 102, ct. Free, Gurudgesetze der Arithmetik begrisffchriftiWch abge-.
leitet, t. II, Jena, 1903, Nachwort, p. 253.
3. On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types, Proceedings of the London mathematical society, t. IV, part. 1, 1006, p. 38 et suiv.
4. Les paradoxes de la logique, Revue de metaphysique, 996, p. 628.