Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

384 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE
Si x croît indéfiniment par valeurs réelles positives, que
devientf(x)?Toutd'abord,.il se peuti quela diffêrence/f(x) -f(x),
(xt > x, et x crpissant indéfiniment), demeure inférieure à la
quantité e, si petit que soit S, en d'autres termes qu'elle ait pour
limite zéro; il est facile/alors de démontrer que f(x) a une limite
déterminée pour un accroissement indéfini de la variable. A ce
cas s'appliquera donc un principe que du Bois-Reymond appel-,
lera, par analogie avec le principe qui régit les séries, principe
géndral de convergence.
Considérons, maintenant, les cas -de divergence. Une fonction
qui ne possède pas de limite- déterminée, peut néanmoins,
quand x croit indéfiniment, rester comprise entre deux quantités fixes qui marqueront les bornes d'une oscillation indéfinie,
et que du BoiîîReymond appelle limites d'indétermination2.
Reste le cas où les fonctions croissent constamment et indéfiniment avec la variable. Ces fonctions dépassent toute limite;
il ne s'ensuit nullement qu'elles échappent au calcul, et c'est
ici que les recherches de du Bois TReymond deviennent le plus
originales et le. plus profondes' En effet, par une nouvelle analogie avec les règles de divergence dans la théorie des series,
nous pouvons établir une comparaison entre ces fonctions indéfiniment croissantes, et déterminer des degrés dans la vitesse
de. croissance. ~ On dira que f (x) croît plus rapidement que
p (x), si, à partir d'une valeur X suffisamment 'grande de x,
f (x) > y (x) et si la difference f (x) -? (x) augmente avec x.
Les applications, ajoute du Bois-Reymond, donnent à cet
accroissement diversement rapide des fonctions un intérêt particulier si la fonction f (x) qui croît le plus vite présente une
supéiorité de vitesse telle que le quotient f(x) croisse également sans limite. ~.
Ce sont ces considérations qui serviront de base au calcul infiniiaire. Par exemple, on pourra ranger les fonctions de X, en
une série
fMx) -... (x).. (., (x)
telle que chacune ait un infini plus grand que tçutes tes préc6 -dentes et que toute fonction entrant dans la suite y ait une
place déterminée 4. Nous obtenons ainsi une spite de functions
1. Trad. cite, p. 199 et sqiiv.
2. Ibid., p. 204.
3. Ibid., p. 211.
4. Ibid., p. 213.