Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LE PASSAGE AU NOMINA-LIM' 363
peut être plus petit que a. En d'utres terrnes,nous voyons bien
qu'an refusant de faire de cette proposition. Le tout est plus
gyrund que la parties, une none du possible, un critère d r el,
on contredit aux règles qui conviennent au calcul des enters
positifs et finis; mais on n'a pas!e droit de conclure de l1) qu'on
tomberait dans une contradiction intrinsèque et absolue... à
moins d'ériger l'arithmétique élémentaire en science uninverselle,
et d'assimiler les principes qui la régissent aux lois nécessaires
de la logique.
Chose piquante d'ailleurs, cette assi nmiation( de la vé'-iaté arithmétique et de la vérité logique se produlit su'r le point. prcis oi
il y a une divergence radicale entre l'arjilihmtique dies nombres
finis et le calcul logique des classes. Si,j'ajoue et 7, li somme
ie est pjus grande que chacune de,es Iarties; mais si j'ajoute
la classe des Français et Ila classe des. No'elrds, la somnre des
deux classes n'est nullement plus grande quc chacune des parties. Dès le dix-septième siècle d'aitleurs, SLe):ni avait mis cette
remarque en evidence, lorsqu'il formulaih ]a loi dicitde laulealogie a, et qu'il en marquait expressment l'aipplication a l'addition des classes: dans ce qu'il appélle le (~ calcul aliernatif,, où
la composition des iééments se fait uivtanlt; l oridre dei lteusion
logique, ~ il n'y a pas à tenir compte de la composting dc'une
lettre avec elle-même3.
Mais, en interrogeant l'arithm:étique éltmentaire elle-nênme,
on voi' se dérober la base sur laquelle était établie la loi du
nombre. Si l'arit-hmltique nous apprend à computer, n'estil pas
évident qu'elle demeure. indifférente à la question, qu i la dépasse
et qui nous dépasse, de savoir si nous pourrons jamais avoir fini
de tout cornpipr? II convient d'aller plus loin: 3lnjre Si nous
accordons que les problèmes posés par la nature des closes doivent se résou>ire par le seul calcul des nombres erntiers, nons
retrouveron-s d'lans la suite natr'ejlle de (-e nomubres infîni, que
l'on prCtelndit exclure au nomi dte l'arithméte!ique: ( La notion dte
linfini, dont. il nie iftl pas fire. mystèe e en nma- htmatique, se
réduit, à ceci - près chaque iomibre e lier il y e;t u 'r a et'. f, ~
I, Vtoir Milhalid, csai our les coacittios le tes liînics t. ' a ',; ce. 'ti'udi t i;,iqî.e
1809, p. 1)8 el- suiSi.
2. ~ Si idem secure ipso stamall;ur, nihi l cmonstitui;tr' Iinov, s-8 4 -::: A.
G., V, [ 230.
3. Matll. 1. 2 (0.t. (ver~ i83). Opuscules e' f'!rai.F'rn ts ié;its, édt. Ci.r.
p. t;6. IC. Ci nt.iis.La lo.tg iqjue d reibliz p p. 3 S,
4. J ills T;na oi rv ': t i. odiucti; ài tla lheor'ie des fs-onredios: ane rieabtc, i t e I t.i
b.886, p. - Vtl, (1' I.'ir, fi i tauthé!dnfiiqe, l.e vittc ' i.' dt' sci(cce, i s,