Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

362- LES ETAPES >DE LA PHrLOSOPrHI MATUHÉMATIQUE
ment soit à une réalit de la nature, possède une vérité intrins6que.t.L nécessaire; mais.cettie vérité, liée l'int,égrité et à. la
positivité du nombre propremien alithméthiqe, est incapable de
se Itransmnlettre aux.ormies g énéralisées sur lesquelles se fondent
l'algebre et lianalyse. La conception de la vérité, qui en avait été
l'fane, a banudoir la théorie ar)thm'étisante, ds qu'il s'agit
de comprendre la valeur inhérente aux disciplines mathématiques qui attestent le mieux, avec la fécondité det lesprit spécu —
latif da is los sciences, son aptitude b envelopper dans le réseau
de ses relations l'ampleur et la ubtilité des: phénomnfes nlaturels.
- Ou bien toutes- les parties de la manthématique abstraite ont
eff'ectivemrtent pour le savant le m'rneme caractère d'exactitude'aet
de rigueur. Unle tléorie de la science, respeetue.ude de la réalité
qu'elle doit interpreter, est tenue de. rétablir I'égaitéa de fniveau.
entire les différentes diseiplnes de l'arithmétique, de l'algèbre
ou de i analyse. Mais il.est évident que. celt:e galité ne pe ut tre
atteinte que sur le niveau lem noir é evé. Le nombre entier serait
alors absorb dans les es. ganraflies, dtlt il deviendrait
un cas particulier- il participerait a. eurl' etractre symbolique;
la maLhérmatique ab)straite deviendrait tout entiière u-ne creation
conventiortnelie e. arbi.traie.
La. juxtapositioul des nombres: naturels. et des es.p'ressionre
urtitficielles ne constitute do nc qu'un. -arri proviso a e. dan le
nmouve.bent, d l'arttiethimélse..'audira qu'il rem.o;n.e 'i; lsqul'au.réalisim-e des Pythagorienels, o.u qu'il descended lIa p lte du.
nominaitisne.et du septi.ecisme
214. -- Or, l'alternataive étlant ainsi pré,:sen.de;,, co que nous
avons déjtj tit de hl formation et de I'evolution de larixth n:tlsme
fait prévoir que les savants du XXe siècle de:;;ia;ievkt:invitabtemeîal.
prenldre le second parti. Ern d épi e F'autorité de Cauhcvii ii est
ciair, uen effect, que ti i la logique;i t'arit. hmét- iqe eIl.te —..i.me
1 Uéaieli interessées dans la l>r4tendue loi de n.ombre.
La pr.opo);sitioni LJe loral espl ui s traInd Ique la parfie, t:is érée
dès 'anutiquiité parmi les nlion.s (comiitmues de Ii géomér3ie',
peu.t. ti re g'arddée, scion R-ltenoiuvier., ~, c mmT un.jgement anayLtique ou d'idenlité. Mais il fiait', joutc-l.-iil, que l'ide da ttout
s,'i;: ptlise' dait-..F:,i 4.q i'-ot ueuti. t.ee.i. exclsiveie't. math
itiqu^l "',; Cela x ne aid'i:i, puaeps.:e: i. lfaut que le ens naIth. —
'l..i.;q.tlq. soi[ ):cs.itl."i[!l àtl.a"'.i ' l it.'iq.iue des aiombres pos:aii its; car
déj3à por le i no h- iûbi w lnI'Uv. i''.' i;/ i s cl cî!i déi 'c tl: a. -;-a xa.}o'. tse., étll. i t i.,t'}:., f. i;.);
2. P;"rmi' r i,;$.'!, eril.,:,iU,!:,;t?.