Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

3ê0 -î.Ls ETAPES DE LA PaILOSOPHIE MATEHMATIQUE
plst avec le rythme normal de la science ~ Les nombres entiers
de l'aritihméique élémentaire, sur lesquels roulent exclusivement
en definitive toutes les operations exigées par les applications
numériques, sont aussi les seuls qui interviennent au fond des
speculations théoriques. Mais l'impossibilité fréquente de certaines operations troublerait gravement luniformité desirable
dans le mecanisme des transformations analytiques; elle con —
pliquerait les.;.énoncés de restrictions continuelles si l'on ne tournait obslarle en substituant aux nombres et aux operations
véritables d3s fictions pour lesquelies cette impossibility ne se
préserme j-amais, et d'où, quand il tI faut, on revient ' la réalité
sans aucun effort. Telle est en particulier, continue Méray,
l'origine des fractions. ~.
c, c'est-à-dire 3 à diviser par 5, n'est pas un nombre,
puisqu'il n'y a pas de nombre qui multiplié par 5 donne 3; iais
les deux nombres 3 et 5 sont susceptibles d'être réunis ensemble,
union: que nous pourrons, s'il nous plaît, représenter par le
symbole, A cette forme on convient d'appliquer certaines
règles de combinaisons, calquées sur les lois addition et
d'égalité qui régissent les nombres entiers, et telles que 3 et;.
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puissent être mis à leur tour' sous la forme et, telles aussi
que les résultats concernant les expressions symboliquers '.
ou, soient identiques aux résultats obtenus sur les nombres
véritables 3 et 5.
Le calcul des entiers posiXifs devient ainsi un cas p.arilii'ier
des combinaisons que i'o:n a d cidd'appliquer aux ex.pressions
/tractiotïmnairtes et c'est par 1i que le calcul nouveau s'inc'orpore
au doSmrain de e a maihlnatique, et marque un éiargissemelnt de
la science ~ B1ien que les diverses espèces analytiques constitueiti des, tmondes distincts, leurs definitions néanmoins sont
dans dates rapports tels, que tout calcul à exécuterî sir ades
nfmbres (.fiun e ceritne espèce peut s'ef ctCuer à laide du cal ul
parallèle exécuté sur des nombres de l'espèce sui.ante.'2. ~ Cet.te
loi de coistitutioin ieret de former de nouvelles quantitdés,< fctices ~. En corbinatl à l'aide de règles conventionnel!es
le signs de l'addition et de la soustraction, on former un c.alcul.
l. Me.ray, do.nvel!.es lonçons, p. 2.
2. Rfiquie r, Ders a~xiomes tnal/t5linatiques,.l v':t de rtnétaphysique f, 189l, p. '2~.