Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

L'ARtT"HMTIATION DE LANALYSE 357
mouvement logique qui a présidé h la rénovation de l'analyse
ne conduit-il pas plutôt à faire naître l'idée de nombre irrationnel sur le terrain pureraent arii 'étiqte, en vertu du procédé qui a réussi pour la notion de limited?
On comamecera par restreindre la notion de limited au cas où
ta grandeur limite est une quantité rationnelle. Dans ce cas, les
notions s'enchalnent naturellement, sans qu'on ait à supposer
d'autres quantités que des quantités rationnelles, c'est-à-dire
rien d'autre que des nombres définis par les opérations ordinaires de l'arithmétique. Nous considLrons une suite formée
par une iafinité de valeurs numériques assignées à une variable.
Pl\g v*, v^ *.
et que nous comprendronrs sous le Ôoxm gdénrai de variable progressire, ou de vaJiante i S'il arrive. qu'à partir d'un certain
ranag m la difference v,_ —v,, est plus petite en valeur absolue
que le nohmbre rationnel <, si petit que soit s, on dira que la
variant est coinergfiele. Nous pouvons, pour abréger les opé-'
rnations, re:présenter les variantes convergentes par (les signs
a)Pro-r"i. Nous désignerons, par exemplle, par U la variante
conivergente de la s ue IL, u!.,, telle que, à paritir d'un
certain rang m, tl.' —l,, <:, quel mque soit c, Lorsque U1 se
trouvse t' re une quarn6 r aotit on.nelle, nous n'aurons fait autre
chose quse (d'gr i discourse. Qu'arriverrtà-l das le cas où
il 'tv alurait pas de quantity rattionnelle U telil que - u,, < s?
Alors, à preardre les choses et toute rigueur, nous nDauroxsî pas
le droit de dparle; de limited, mais nous pouvons, pour exprrimer
'la con'rverg'ctc'te de la var 8minte qui réIsuite de e'in>4 a]é ^U;...
_,. î r qiR fer cn nlere l oea qis e in ctmeulaci: absoii el:. taita 1r la quantitye non!l-raîionne le. ia quatlité
Fcl:iv, ou i.'coDmensi râb i, cornr)e io uS feri onS ld''ue liialt
ei~ctive,:<( Q î1v(-uad un.ie vurianit >ovrgC.e:conveel e. ti'd pas vers
iqueique!i-: lîfe. on ili n ass.i>ne une idaule qu'on niommue un
n.ombre rou 'i:ie q3uanlii i.co-:.aM'ens R'a>let s1; quon re1 esein s i
par ie Xme siA: 'e que sI eile e i xi sta i r8élIe men,. O3 pe;1 alor.3S
exprnimer a c:o:'errgen: 'ne ~ariante quieiconquîi ci; disai
qu elle Lered ver;s ie c, eraine imite (eilecltv'e ou idéale suivant!c aCs) ~.
Ainsi, nons c ons îéros! a sui;h: iBdéfinié e. s. nobs
rationnels
I., cyl, pd, o r., I, 1,,3. p. i8.
23. Mtr-ny o' r i., p. 3.