Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

352 LES ETAPES DE -LA PHILOSOPHIE MATHiMATIQUE
de l'infinitésimal: ~ Il y a une autre question essentiellement
différente.o qu'on a le tort de confondre avec la première;
c'est celle de.e 'idé'te à se fire de cette.méthode, c'est-à-dire de
ses applicai-ons, e!n ant. qu'eile permettrait, en géométrie et en
aig 'bre, de résoudrl dr, prohbltmes à mon avis contradictoires:
dornner la measure d'tine quantity t don't l'incommensurabilité est
d6mo"n tr'e, te)rmtle l'a3cinrilation r'igozureutse d'une circonférence è tun poi.ygone, supposer 'ure limited atteinte dans une
suite d'op rations ilimintées. aiutriser l'assimilation à un nombre
tdonn;' e soi d'une série ind,'ilie de nombres dont la some
numérique est irréali'sabe, et enfin, dans l'ordre concret, considérer.ijn corps commIne tordé di'un assemblage d'élément réels
et donlus ie no:nbreb i u.5ii. Sous ce rapport je ne puis consi-.
délrer que commn e un ca cu! dl'approximation, mnais d'approximaLioni indéfinie, ce mlme calcul quie je soutiens itre absolument
rigoureux quand on ne le considIre é qu'idéalement et dans les
conventions qui lui donnent naissance, ou encore dans celles de
ses applications qui ne supposent aucun infini réalisé. ~ En un
sens donc, l'idéalité rigoureuse du calcul infinitesimal suffit à le
constituer conrme science-; en un autre sens, elle ne suffit pas à
lui conferer une pleine valour de vérité, il lui mranque la réalité.
La philosoph'ie math:ématique que Renouvier a présentée
commrne idéaliste imp!ique donc, sous l'homogénéité apparente
de la terminologie, deux conceptions bien différentes. La première, toute rationaliste, constitue l'idée en tant que rapport
i'terne, procédant du dynamisnme essentiel- à l'intelligence;
l'idée (de fraction, ou de grandeur incommensurable, se justifié
ainsi en toute rigu'eur par la chalne de raisons qui en fonde le
symbolisme.- Dans la seconde conception, qui s'apparente à
l'empirisme` de Berkeley et de Hume, la relation constitutive
de l'idée est-externe, et non interne; l'idée s'accompagne d'un
objet qui, au-lieu d'être une chose en soi, est une image, mais
qui garde à travers cette transpcasition le caractère essertiel
que l'intuition réaliste lui avait attribué, qui demeure un élé-,
ment sensible,.une individuality concrète. Le rôle privilégié,
exclusif, que Renouvier réserve au nombre entier positif, relève
de cette iunerprétationr purement imaginative de l'idéalisme.
Les deux formes de l'idéalisme sont-elles compatibles?
Renouvier esf réduit, poIu' les concilier, à invoquer cette distinction du uirtuel et dëe l'actuel, qu'Aristote avait imagine
1. Cf. De a justification de la méthode infinitésimale en géométrie, examen du
système dc M. Evellin, p. 334.