Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

3 iO LES ETAPES DE LA PHILO9OPHtE MATHÉIMATIQUE
La moindre démarche de l'arithmétique en dehors du calcul
des entiers positifs, par exemple le partage d'un entier en deux
ou en trois parties, suffira donc a faire évanouir la relation dll
sujet et de l'objet qui avait rét le principe et la garantie du
savoir humain. l)e la sphere (le réeaité on tombe dans la région
des symboles r ~ Ce serail renversr les iaotions les plus claires
que d'admettrie dans l'ari}lumnlique abstraite des nolmbre
hybrides tels qu;e q -- Q, q étant form au tnoyen d'une unité ct
p au moyen d'uie autre... C'est cependant ceque l'on fait quanid
on parle de nombres firactionnaires, et qu'on appelle les fractions
des nombres... i> Mais ~ le problème de l'unité divisée, impossible arithmnétiquement, se irésout à volonté pour de certaines
grandeurs concrètes et... le quotient ci-dessus q -- p prend une
signification en tant que partie d'une quantité continue. On
convient alors d'adopter le symbole - au lieu de p, pour la
representation de r* units b fois moindres ique celles qui servent
à estimer la quantity r., dividende propose ' ~.
208. - ~ Les fractions ne s'étendent pas à l'expression du ontinu tout entlier. ~ Il faut faire intervenir ~ les grandeurs inoommensurables, dont l'existence se révèle au mathématicien dès les
premiers pas qu'il fait dans sa science )>. Mais, par leur definition
même, ces grandeurs excluent toutte repr'aentation de rapport s
par des nombres oil par des fractions, c'est-à-dire C par des
quantités abstraites suivant la definition rigoureuse du qiuatumn
à laquelle, dit Renouvier, on a souvelnt le tort dee pe as s'attacher 2 ~. Le problèime sera doiic plus complexe que le prol)ième
relatif aux fractions; lmais la solution scra <de mn3me nature,
elle exigera seulemenit la constitution d'un symbolisme plus
oompliqué, symbolisme du second detgr'.K En effet, dans la fraction t ant que les termes sont commensurables, b et a sont
de.; nombres; il n'et est plus do môme (lans l'hypothèse de
l'incomuiiensuraLbilité. Il n'existe plus (le rapport entire tes
quantités b et a; ~ mais un rapport existe toujours entre i'une
d'entre elles, soit a, et une autre quanlité b)- r s variable, que
l'on penut toujours supposer dit'lérente de b, de moins- qlue dI'uii
quantity assignée, quelque petite que soit cette deriière... Les
rapports de la forme b seront le siiymbole des rappoits possibles
1. 'renmier essai, édit. cit., p.:197.
2. lbfi., p. 361.