Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

L3ES ÉTAPES DE LA PHILOSOPIIE MATHEMATIQUE
s' tait fiatti de démontrer que la function de x el de i
~ n;e peut. develir -n nulle ni infinie pour toutes les valeu.rs de
x, ]lorsqcu'oln fait 1-i,. Et l'on trouv a1 e dans ie Trailé d'Aglbre
de Josephi Bertrand et Henri Garcet les lignes suivantes, qui
sont emprutlit.ées àa l'édition de 1878:. ~ On peut demaAder si
une lone 1ion 'continue quelconque a une dérivée. i Nous réporndrons d'abord qu'en fait nosus alnlns trouver, dans le: paragraph.es.suivants, les dérivées des principles fonctions; ce qui
dérnontr era leur existence a posteriori, Nous ajouterors d'"ailleurs que e aI foncti;on étant continue, l'équation: g /(. fx),
représente une,courbe plane continue, rapportée i deux axes
rectangulaires; et l'on démontre, en géométrie analytique, que
la dérivée représente la tangente trigonométriqiue de l'angle que
fait avec l'axe Ox la tangente à la courbe au point (:, y). Come
en chaque point une courbe continue a une tangente bien
d[termnin-e, la fonction admet une dérivée,.
Mais, dis.87, WXeierstrass avait communique à l'Acad6mie
des sciences de Berlin, l'exemple d'une fonction continue qui
n'a pas de dtérivée pour l'ensemble des valeurs' de la variable
comprises dans un certain intervalle.
La folnction don[t il s'agit estl reIprésent(ée par la s6érie coF.stx
*4 — b cos a r:; -!- 2 os a x -h b' cos ca '. x. - -... où x; est ine
variable réelle, a un nombre enter impair plis grand que't,
b' um'ne constante positive inférieure a l'uuité. En d'autres;lermes,
Vo a
F(x):).' I, h2cos (a". x).
L4:a s'ie converge uniforrmmerri (e'est,:al-dire quei qu.sboii
Io rd;re d(- ses lter mes); car ses tennes ne surpas..ent-pas ce:u de
la )rog 'rssio. iE by; F: x est une foncrtion cont inuea 3.
~( Si l'on a ab <., F (x) a pour' dérivée la sir'ie
F'x — = _.'. (a,)'!^ ~si nia. x).2
Ma is 1i i: surpasse. -.t -., F.(;'z) n'a pins Dte déritv;:ée. En e let.
i. Jou..it (..(', 't;c e ipoiy cblnique. X']l" ca' i,. p } 4.
2. 2' pari......i.
3. f,':'tit, 1.c,.'?s, 2 Ct;14-.,. T }907, p.; r 10) et t., H 1 t0.., [_