Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

L'AUTONOMIE DE L ANALYSE 337
Dans chaque intervalle la fonction a-une limite supérieure
(L,, L,... Ln,) et une limite inférieure (l, l.,... n-).
Nous obtiendrons donc les sommes:
S,, — (x a) L, + (x - ) L( ^... + (b - n-I) Ln.
sn- (.% — a) 4 — (x -— x) l+ +... - ( x,,- i )ln,
NaouS formons ainsi les concepts d'une limited supérieure et
d'une limited inférieure de la fonction de l'intervalle (a, b) - intégrale pacr excès et intégrale par défaut, suivant l'appellation de
M. Darboux. Si ces deux limites ont mrnême valeur, la valeur
commune des limites est aussi, par definition, la valeur de l'inl6grale.
201. - C'est ici que l'analyse retournera sur elle-même, pour
produire le fait décisif: après' avoir fait sortir l'intégration des
tbirn es où la;notion intuitive de la continuity l'avait tenue
enfermée, elle va déceler dans cette notion une source d'illusion
et de faunsseté. En effet, S'il existe des fonctions discontinues
susceptibles d'intégration, il y a des fonetions continues n'ayant
pas de ddrivées'1. Or, que la continuity de la fonction entrainât
existence de la déri.vée, c'était une proposition fondamentale
dans la conception intuitive du calcul infinitesimal.
Par example, dans un fragment de son Cours à l'école polytechnique, Poinsot établissait l'existence de la dérivée de la
'façon suivante: ~ On pent même dire que le rapport de deux
hoses homogenes ne dépendant ni' de leur nature, ni de leurs
grandeiurs absolues, par la définition nmême duu rapport, la
quantity ({y: Ax) a toujours une limite; et c'est ce que la
considération d'une courbe et de sa tangente, dont l'existence
n'est pas douteuse, fait voir d'ailleurs avec la dernière évidence2. ~
Bien plus, dans son mémoire de 1806 intitulé: Recherches sur
quelquespcoin's de la théor;ie des fonctions déivées, etc., Ampère
i. Darboux, op..cit., p. 58. ~ La tradition, dit M. Klein, nous apprend que
plus tard. ienann lui-même indiquait a ses élèves 'le poi.it suivant; comme
éitant le résultat le plus merveilleux die la critique moderne: l'existence de
fonctions continues qui ne sont, en aucun point, susceptible de diff4renciation ~ in Biemann, a(uvres. mathédmatiqtes, tr:, Laugel, p. xxxmi. Voir le début
de la note de Weierstrass.- Ueber corti:nuirlictle Iunktionen eines reeilen Arguments, die fur keinneni Werth des letzeren einen bestimmten Differentialqzotienten
besitzen (1872). Verke, t. l-1, Berlin, 1895, p. 70.
2. Des principes fondamentaux e' des règles générales du calcul différentiel. Correspondance sur 'EÉcole polytechnique, t. III, n~ 2, mai 1815 p. 115, citée par
M. MPasion, Résumé du.Cours d'analyse infinitésimale, p. 291.
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