Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

L'AUTONOMIE DE L'ANALYSE 33 '
du temps qui s'écoule pendant le passage des corps d'un lieu à
un autre. ~
Eni 1874, dans son Mémoire sur les fonctions discontinues,
M. Darboux fait la remarque suivante: <( l existe des fonctions
discontinues qui jouissent d'une propriété que l'on regarde
quelquefois comrne le caractère distinctif des fonctions continues, ctIe de nae pouvoir varier d'une valeur à une autre sans
passer par toutes les valeurs intermediaires. ~ Ce sera pour
prendre l'exemuple ie plus simple, ~ le cas de la fonction égaleà sin - pour x - o et à n'importe 'quelle valeur de l'intervalle
(-1-, -- 1) pour xz0 )0~
il est incontestable que ce renouvellement de l'analyse apporte
plus de precision dans le langage, plus de clarté dans les idées.
Mais on voudrait savoir. davantage; on voudrait savoir s'il correspond à une pénétration plus profonde de la réalité mathématique, s'il trouve sa consecration dans. les faits. A cette (lqestion, qui pour le philosophe est la question capitale, l'évolution
de la mathé6ratique depuis Cauchy, fournit les éléments d'une
réponse significative.
200. -Tout d abord, il convient, en raison de son importance
intrinsque, d'insister sur l'extension que- reçoit la notion de
'?intégration,2 et sur la transformation dans la physionomie du
calcul iifinitésimal qui en est la consequence. Avec Cauchy,
l'intégrale définie, dont la représentation géométrique a provoquéi les premièires opérations d'intégration, recoit une d'finition analytiquie' elle est ( la sommre des valeurs ihfininent
petitaes de l'expression différentielle place sous le signe f, qui
correspondent:aux diverses v-aleurs de la variable renfermée
entre les limSites don't il s.'agio,... Une semblable intégrale a une
valeur unique et finie, toutes- l.s fois que les deux limi;tes de la
variable étant des quanti:tés finies, la fonction Sous le signed de f
demeure elle-mêYme finie et continue dans tout l'intervalle
compris entre ces limites-". ~
Ce qui importe, c'est d'étendre la notion de l'intégrale définie
hors du domaine de la continuité. Cauchy appelle intégrale
définie singulière, une intégrale prise relativement à une ou à
1. De l'origine et des limites de la correspondence entre l'algèbre et la géométrie,
1847, p. 23. Cf. Essai, chap. xiii: de la Continuité, t. I, p. 390.
2. Annales scientifiques de l'É(elé normal supérieure, t IV,, p. 109.
3. Lebcesue, op, cit., p. 90.
4. Journal de l'Ecole polylechnique, t. XII, xix cahier, p. 571. OEuvres,
2 série, tL i, p. 333.