Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LA CONTINSUIT CH(EZ CA.UCtY 333
est comprise entire des lmraites donrnees, et dont ta valeur est
toujours nulle si la variable n'est pas comprise entree ces limits.
Cette fonctilon esnure l'ordonnée d'une ligne qui comprend un
arc fini d'une forme arbitraire, et se coonLnd avec l'axe des
abscisses dais outl le reste (de son cours i ~.
{98. - De ces conséquences pratiques, Cauchy dégagea in
praobème théorique i il remarqua. dit M. Lebesgue? ~ quite ies
difficultés qui ré su!tent des recherches de Fourier se preser.teit
rirême lorsqu'on se s sert qae d'expressions très spiples, c'est-àdire que, suivant le pr océd employé pour donner iua function,
elte apparait comrree tlconinue ou non. Cauchy citLe, c0mnme
Bexemplei la flonction égale à - -x pour x positif. à -- x pouir
négatif. Cette tfonction n'est pas continue, eile est ifrmée Ade
parties des deux fcnr actions continues.-+- x et, -- e; elie apparaît
au. conrtraire comme continue quand on la note: q t/1 ~,
De'.là devait scertir la refonte de la notion de contiinL.ui A.u
lieu d'être la p opriété d'une courbe ou d'une fonction, prise
dans son ensemble; un attribut inherent à'un sujet rmailtmatiqrue. la continuity devient, une relation élémentaire, cqi servi ra
d'iiustrulment pour I'étude d'une fonction < Soil f(x) une f nction de a variable x,i (-t strpposons q'ue, pour* chaque vaieurt e:c
ilirfftdsl édia e ir e e e eux limits données, cette fon(ction audmctLe
corsLa i mment une valour unique et fiije. Si, en partanl d'una
val'eur de;. comprise en.lre ces i:.mites, on attribuJe k la va riable
x ur. au cr<oi;:en-meni infi:iment. pet.iii a, le fonctioni eliel-mnXe
recevra pour accrois;.c:neDt 1a m"iit::l:i e.C
qui dépendra, eni mtndmletemps, de la nouvelle- variable a et de la
va.evir de x;. Cela pose, la tfonctio f/x) isera, ei tre <es ideux limites
assi:lgnre as l a voariabl e x? forti.on con, ltiu e d cet.te va'rible, si,
pour~t chaque vi;alcu,: de x:.i.eiîcediamnr, e en.?.ees re titÉ es,!a valetur
nm 'iqnie I de la différenc
fk. ( >.-i+-) /.'...'(:)
décoi:t ind innirmenltvrî ce X e ai ( id n o anlr's terne s, )la ]fo 'io. /) res.era c.:i:. aIre pat. rapport t l.. eilre es. limits
doutes', i,', eire ces lmi te.s un acccroissement i.niniment petit,de la vt-abPle p~o.. l ou o'urs 'un accro i sscment tfinilnel, ft pe ti
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