Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

332â LES ETAPES DE LA fP'tILOSOP~IE MATHÈEMATïQUE
Il vit que cette determination reste encore applicable lorsque la
fonction /[x) est donn6e tout à fait arbitra;rement; il substitute
d'abord pour f(x) une fonction dite ~ discontinue ~ (l'ordonnée
d'une ligne présentant un point de rupture pour certaines valeurs
de l'abscisse x) et il obtint ainsi une série qui, effectivement,
donnait toujours la valeur de la foncttion 1., > Une fonction qui
~ grapliquement ~ serait donnée d'une façon arbitraire 8 c'esth-dire dont la determination dans un certain intervalle de la
variable n'entraînerait pas la determination dans un autre intervalle, serait représerntable par une série trigonométr;que.
La généralité que Fourier donnait à sa proposition de vait être
de la part de ses successeurs l objet d'un examen ttentif. En.
particulier, Leje.:e-Dirichlet a posé le prob1ème sde fixer les
conditions auxquelles la function devait satisfaire pour que l'on
pût démontrer la convergence de la série qui la représente,
convergence que Fourier' avait seulement suppose. Du m oi s
Forieer a-t-i e's conscience d'avoir brise le cadre oh une iotioin
trop étroit. de la contLinuité (elte qlue lon appeilera d sormais
coîdiîité z ui Irienn aev'ait teinu l'anal se il a ~ formé ~ une
méthode gén.érale qui a pour e élément principal.. l'express.i;so
analytique des functions separées, ou des parties de function.
Nous entendons par foenctios spare ou parties de fonci ï. 1ne
fonction /(x) qui a des valeurs subsistantes lorsque la variable
d'une seule variable par une série trigonmert iqse, t rad. franCaise, Belletia des
sciences malthématiques, ]880, p. 47
t Riemann, lUebe die. Darsiellbarkeit ciner F:nctfion durch eine trigsonometische
Bteihe (85), Werike, p. 232, tro Laugel, p. 231.
2. Sur cette lotion, il es intresat de repedure po u e rf cexion,.e d~ro,
necker: ~~ La propriét: qu'oni les séries de Fourier de representer deïs foncti ons arbitraires a extraordi airemeit. frappé les maths mat:cincas Il conv cnt`'
cependaut d'obser-yer. que c'cst seulernennt a8 s ens util;thmiquc. que P oi.
doit entendre cettte 'totioi d:ar>itlaire; elie reste toujouiis piun 'snumïse à
Vne r q'pe que la loi ta plus pre ise de la pratique, L'arbitraire co^isite n
ceci que ours poo i is sioiIr d.ilttar(t{enlit pour ditrérenters valinr"s dte l
fonction, la loi (dr parcours, qt'ii de iieu. e icondit.on.reil(e^li:nt pr.cciite à ia
foriction. ~ Vorlesaunien iiber die Theorie der eriffachets ns.d der icftach e1n f[ategrale, publiées par Netlo, Leipzi-, 1894, p. 4.
3. Sars a cor vergence des series isriTonsor triquses, eqsi seruvent à rep. résete 'n,,e
toItsiol srbitrai,'e entire le.s limsites do:n'.ies. journal 4l Cra lt, r. IX, Berlin, 1829,
p. 157. Voit Fount, Leçons, éd fitde I, pil. 97.
4. n 'Il es[ nteessaire d'admettr ee dans I artIuyse des l'onctions qtui ont (ises
valeurs g'-ales, toutes.es fois que t1i variable reçoit des vjleurs: quelconques
copripsoses entre deux tiSite ns donnetanis qu'en sxbt:ltsusn[t 4a't (^e' de;.,
fe.;tctions, aet liem de la variable, 'un iombre comprise dans un aiUre i'. tro' s
hl:. e,.sutais daes deux sulstitsttions ne soun p[ntoln le, mimes. {.,es ts(. r cs.i,
qui jouissient de' cetIe pro(priri,i-it reprrî.entes' paxi' de tig'it d;.p:::reu-t;
qui ue cCiic(derl'ti fue daJ.;. un t1or to., dOt\vmiruSR:e.^t ens. eourst îio;r:
tune esSc.se d':îatn.>,,,!'a.'('.ss, t. I, 22e.. p