Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

330 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE
LA CONTINUITÉ CHEZ CAUCHY
196. -I1 serait oiseux de prolonger la polémique lointaine que
ces lignes ont soulevée; entire la géométrie projective et l'analyse,
il n'est pas nécessaire C'opter. Du point de vue technique, les
malentendus auxquels pouvaient donner lieu ou un énoncé trop
bref du principe, ou une critique trop elliptique, sont faciles à
dissiper: Poncelet, écrit M. Darboux, lui faisait du tort en
se refusant à le, présenter. comme une simple consequence de
i'anralyse; et Cauchy, d'autre part, -ne voulait pas reconnaitre
que ses propres objections, applicable& sans doute à certaines
figures transcendantes, demeuraient sans force dans les applications faites par I'auteur du Traité des propriétés projectiles >.
Par les citations que nous avons faiteq on aperçoit que dtans la
réalité Poncelet et Cauchy-n'avaient pas eté loin de satisaire à
ce double desideratum. Mais il reste qu'à travers ieu; honmmes
deux philosophies de la mathématique s'affrontent; ou d'une
façon plus exacte, et pour nous plus instructive, à travers ces
deux honImes le passage se laisse saisir de la'philosophie qui
avait inspire la période classique des mathématiques à la philosophie de la période moderne.
Dans la période classique, la continuity apparaît cormnie ta
racine commune de l'analyse et de la géomntrie. La formule
abstraite et la représentation concrète, associées grâce à elle,
se fécondent par leurs connexions réciproques, se dépassent
tour à tour l'une l'autre, jouent alternativement le rôl e de p.rteur
ou d'emprunteur. Là géométrie ou la mécanique.avaient fourni à
l'analyse ses principes; c'est sur le crédit de l'analyse que Poncelet dtendra les relations géométriques au delà des bornes de
l'intuition.
Au contraire, Cauchy-fonde la science moderne de l'analyse,
en commençant par mettre en question l'évidence intuitier qui
avait permis d'appuyer l'une sur l'autre la definition anaiytique
de la fonction et la continuité de la courbe prise dans son
ensemble. Par delà la généralisation géométrique de Poncelet,
il récuse la généralisation algébrique qui avait inspire la formule
et l'usage nouveau du principle de continuity. Il faut, écrit-il
dans introductionon du Cours d'analyse. algébrique, s'imposer
de ~ ne jamais recourir aux raisons tires de la généralitê de
i. LÉtde sur le développement'des mlthodes géométriques, Bulletin des sciences
mathématiques, 1904, p, 239.