Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

326 LES ETAPES DE. LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE
débat ouvert par les-recherches de d'Alembert sur ~ la courbe
que forme une corde tendue mise en vibration,. D'Alembert
avait indiqué une solution ~ pour les cas où les différentes
figures de la corde vibrante peuvent être renfermées dans une
seule et même équation ~,. Daniel Bernoulli, d'autre, part,
reprend l'examen synthétique de la question 2; il s'attache particulièrement à l'expression mathématique du ~ méiange de
vibrations ~ auquel correspond le phénomène des sons harmoniques, et il aboutit à cette conclusion que ~ la courbe de la
corde vibrante est toujours une frochoïde [ou sinusoïde] allongée,
ou un composé de pareilles trochoïdes, quelques figures initiales
que i'on ait données à la courbe 3 ~. Autrement dit ~ si au
temps! les coordonnées (x, y-) des points de la corde [de Iongtteur X] vérifiènt, l'équation
at 2- ia2' (u. constant).
Bernoulli montra... que l'équation est satisfaite par des produits
de sinus et de cosinus, ce qui l'amena à prendre comme intégrale générale la série
y_ -- Iian cos- - bn sin nt s) n —.
Pour t =-o, cette relation devait donner la position initiale de la
code. Cette position était arbitraire: une fonction arbitraire
pouvait donc être représentée par une série trigonométrique 4 ~
Mais cette conclusion ne pouvait manquer dé heurter les
contemporains de Bernoulli: comment une série qui est une.D transcendante périodique, pourrait-,\.- ~-.- 1 _elle représenter des fonctions non
périodiques? Aux yeux d'Euler, ~ la
Fig. 12. solution tirée de la combinaison des
trochoïdes ne saurait être regardée
que co rnle trrs particulière' ~. La condition nécessaire pour
qie l'on puisse comprendre une courbe dans une équation, c'est
i: Mémoires de l'Académie de Berlin, 1750, p. 358.
2. Nérmoires de lAcadémie de Berlin, 1753, p. 148: ~ Une analyse abstraite,
qu'o.n écooute sans aucun examen synthétique de la question proposée, est
sujitte i nous surprendre plutôt qu'à nous éclairer. ~
3. Iontucla, Histoire des mathématiques, t. II, 1802, p. 662.
4. Fouet, Leçons élémentaires sur la théorie.des fonctions analytiques, 2e édit.,
t, tI, 1910, p. 4.. Etuler, Mémtoires de l'Académie dûe Berlin, 1753, p. 201.