Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LES MÉTAGÉOMETRIES 323
proposition premiere? On se fera une loi d'analyser tous les
éléments dont se compose l'intuition spatiale, et de les soumetire
à la même épreuve que l'idée des parallèles; on se demandera
quels axiomes correspondent dans la géométrie Classiqule à
chacun de ces éléments; et, excluant par l'hypothèse tel ou tel
de ces axiomes, on étudiera le système de relations qu'il est
possible de constituer encore dans cette hypothèseo C'est ainsi
que, pour M. Gilbert, la géométrie générale, dont Lobatschewsky
croyait avoir atteint le terme, que l'on a ensuite étendue à la
considération des trois types d'espaces métriques, doit épuiser
toutes les relations dont la géométrie a le devoir de donner ~ une
description exacte et complete ~, relations ~ désignées par des
mots tels que sont situés, entre, parallèles, congruent, continue ~.
Les géométries non euclidiennes déjà constituées ne sont donc
que des cas particuliers de la métagéométrie. Par exemple, pour
prendre la tentative la plus audacieuse de M. Gilbert, on pourra
écarter du groupe des axiomes fondamentaux l'axiome d'Archimède auquel M. Hilbert donne aussi le nom d'axiome de continuité: soit un segment linéaire AB et un segment AA, pris sur
la même droite, A1 étant entre A et B, il est toujours possible
d'obtenir par l'addition de segments égaux A., A, A3, etc. l'inégalité A An > AB. M. Hilbert conçoit un système numérique
complexe (t), dont deux nombres 1 et t. tous deux > O, ~ jouissent de cette propriété qu'un multiple quelconque du premier
sera plus petit que le second de ces nombres s ~, En faisant correspondre à ce système de nombres complexes des convention
~ relatives a la distribution des élé-ments ainsi qu'au déplacement des segments et des angles ~, on arrive à concevoir entre
un segment t et un segment 1 une relation telle qu'on puisse
faire ~ glisser le segment i bout à bout une infinite de fois sans
jamais arriver à atteindre l'extrémité du segment t; or, cela est
en contradiction avec l'axiome d'Archimède " ~,
La dissociation pourrait difficilemen- être poussée plus loin.
Il convient seulement de prendre garde à en apprécier exactement la portée. Il n'est pas sûr qte I'évocation idaale d'un sys1. Les principes fondamentaux de la géométrie, tr. Laugel, 1900, p. 24.
2. À l'égard de.cette denomination il n'est pas inutile de rappeler cette
remarque importante de m. Veronese que, pour rendre complètement compte
de la continuity géométrique, il faut' introduire encore un autre postulat, de
la formte suivante ~ Tout segments même variable, continent un point distinct de ses extrxémités. ~ Les postulats de la géométrie dans!'enseignement-, Congré.s des mathérnaticiens, Paris, 1900, p. 449.
3. Tra4. Laugel p. 33.
4. 1bidW