Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LES MTAGÉOMÉTRIES 32 i
de libre mobiii', Or ces relations correspondent à un cadre pilus
large que ie type euclidien de l'espace: dans la géométrie ueulidienne la courbure de l'espace est partout nulle, il suffit à
existence d'une géométrie métrique que l'espace.ait ue courbure parbtou constant. Bi.emann c doncl,!: doe les ' imdtiplîit6s 'dont la courbure est; partout égale à zéro, pevenit être
cons.idréres comme un cas particulier des multiplicités de courbure partout cotstaute' ~,. Dans ces spaces la seomme ldes
matagies rl'ua tri-an gle rectiiiigne ne sera pas 6gale à de'ux dtrits;.mais elie est d6teerminée en fonction de lta. -urface porl tlout
triangle qua!sdi elle l'est dans. un seul. Si la courFiure çonstunto
est n gati' ve, la somme des angles du trangl, est plus petite
que de1ux doit'. et l'on retroave ainsi, comme Beltrami 1'a fait
voir., la géomlétrie dlont Lobatschewsky et Bolyai avaieant tudié
'es prtopri6tées. Si la courbure est. positive, la somme est plus
gra ndue q iue ux droits; on obtlient une géométrie où les triangils jouiss.ent de propr4tés analogues aux triangles sphériques,
où tes lign.es géodésiques eonit deux points communs,, cosame
les arcs s des grand s circles sur une sphere, où 1 space etfin
est illimité sans être infini.: et ce sera la géeomnétrie de Riemanr..
L ES. ME A.GEIOMTRIES
19, -- L'établissement de la géométrie riemauni:-:'~n, i acl.hve
de remplir le programmed que al logiqul rigoureis d.ti S;icheri
1avait tr'acé. Du même coup, il fait évanouir le rve' qui.avait été
celui de Sachchem et de tous leï. nuila-eid/er.d:; 's n ou enteln~.
dons par' } c e'ux qui, )oussant plus loin qu'E.Iuc;id": I'.uSe de
rédlicti.on logique, pr6tendaient irvendre traison ot de, t 'rme
des principles de la géométriie. ii justifie définativcieen E.ucidet
et, les Etucitens. Nous pouvons -mC~r e ajoutcr qu'i ju:.itiie une
des. thè;ises essentielles du- kantis.me. M a. Mansioi, qui qdonsid:'re
la géomi'tnrie non e-iclidieni: come uinc. r'fut-ation par le 1aiit
de:la CzriiquL e ela raison e pure, remarqe pourtant qu'il est..atfir6é ài Kant de parl.r le langage du pur riemaameitiln: dans
les P'ostulacis dc tld pej?ée emtiirique, Kan' t otii i observer qu'i n- y
a auc.e cnrenirari'il. iori dains le: cr.nceptl i'uneh fi'( cUmpri.se. t Hrke. 2,sd ift. 1892, p 2^.8 3. r aigel, e1l8,. 2 't
2. ds.ai,'itù'.rp, etauinu, de!a j qé(e ri~ aoc. el '~iietne, it. sooi.,`:,.rl. tiHt's
sc,itiiql.ii.q d u'' ~l },co!Ie,torrnmale 'lupériruWtO, l i, V!L. 869, p 2 ri est st r.T Ci'.
hllitiUlK.i t, L't s t.:,i:dm.:: (le. O.;imt;lrie, elreui' esi'.niO; et ttsl.r 'si;f.Ia.')!s.sReve
1s c'i:i (f our:', i;l, '.icsi. t..i, C' f ux 'iem.r$l.}ri,,, i X '.1 T,,., Ip'Ol
s"u',' iiev N6-. jeot.sji'.. [. a',-n lSi p 2'O 5
~~.7,'}yC, V'i':.'~. -, S i k.,:,a.pt'g <2'