Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

320 LES ETAPES DE LA: PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE
metrie zu Grunde liegen (1854), montre coriment s'est accomplie
la dissociation entre éléments jusque là indissolublement unis.
Riemann part de notions, purement analytiques; il cherche à
construire le concept le plus gdnéral de l'espace en determinant
les diverses formes de relations m6étriques susceptihbes de
s'établir entre des multiplicités d'éléments, et qui caractériseront
chaque espèce de multiplicité. Ainsi on peut faire intervenir
d'àabid le nombre des dimensions. Il s'agira de pousser plus loin
la discrimination des types spatiaux: le procédé de Riemann
consisted à considérer l'espace dans l'infiniment petit, au lieu de
se donner d'un coup l'espace infinhi I1 prend pour base l'élment de distance linéaire, ~ qu'il suppose exprimable sous la
forme ds = vydikd7xidxka.; de sorte que le problème de la constitution d'une géométrie métrique se pose alors dans les termes
suivants: à quelle condition la mesure de distance demeuret-elle la même, quel que soit le jieu où elle s'opère? Pour le
résoudre, Riemann introduit la notion de la courbure de l'espace
-'notion originale sans doute, mais dont la constitution a été
rendue possible par les travaux de Gauss sur la courbure propre
des surfaces 2. En généralisant cette notion, en l'appliqualnt à
l'espace, et en particulier à notre espace à trois dimensions,
Riemann est en possession des relations métriques intrinsèques
qui rendent possible le déplacement d'une figure sàns déforma.
tion, qui satisfont à ce qu'lHelmholtz appellera plus tard l'axiome
I. Klein. Conferences sur les Mathé,natiques (Chicago, 1893), tr. Laugel, 1g98,
p. 86.
2. Disquisitiones generales circa superficies curvas, (1827). OEuvres, FI, 219 et
suiv. Voici comment on peut, avec M.;Lechalas, préèsenter l'idée de la courburé propre: ~ Si, sut une surface, on limine une région par une courbe
fermée quelconque et si, par le centered' raie sphere de rayon 1, on mène,.d^
parallèles aux normales ou dsperpendiculaires aux plans tangents à la
surface aux divers points de la courbe,:la surface de la région découpée sur
la sphère par l'ensemble de ces droites est Lpar rapport à la portion de surface
comprise c l'intédieur de la courbe] ce que Gauss appelle la courbure intégrale
de.la region Considérée. sur la surfhe doQnqée. Si maintenant celte région se
resserre indéfiVpieqnt autour d'un point M, la limite vers laquelle tend cette
courbure intégrale, limite indépendante de la loi suivant laquelle s'évanouit
la region considérée, est la courbure de-la surface au point M, sa courbure
totale, pour employer l'expression généralemeat adoptée. On sait que, parmi
toutes les courbes tracées sur la surface;par le point M, il eneest deux, rectangulaires l'une à l'autre, dont les rayons'de courbure, dits principaux,
sont l'un Imaxii).mumr et l'autre mininimum. Si donc; on considl'u em lé6meit
de surface rectangulaire, ayant ses côtés parallèles aux directions principales, on voit que-la courbure totale est égale à l'inverse dul produit des detlX
'rayoas de courbure principaux. Suivant tque ces deux rayonss sont de rninc
sens ou:de sens opposés, la courbure est positive ou -négative ~ La cqa.bur8
et la distance en géométrie générale, Revue de métapiysiqui,, 189 p. 195