Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LE P. SACCHERI 317
La création de ces pseudo-géomtiries, parallèles aux pseudosyllogismes dont nous venons de parler, anticipe, en dépit des
intentions de Saccheri, l'euvre des Lobatschewsky et des
Riemann.
Avec une pénetrafion tout à fait remarquable, il prend pour
base la consideration du quadrilatère birectangle isoscèle AB
CD ou mieux du quadrilatère trirectangle LMBD. Les angles
L,M,B étant droits, D peut être droil (fig,, 11)
(et c'est le postulat d'EuClide, sous la forme e- )
que déjà lui avait donnée au xm~I siècle le
commentateur persan Nasr Eddin-al-Tusi 1)
ou bien soit obtus soit aigu -deux hypotheses A M B
dont il s'agit de suivre les consequences jus- Fig. 41.
qu'à ce qu'y apparaisse une contradiction
formelle: Vélimination de ces hypotheses apporterait alors une
valeur apodictique a la thèse euclidienne.
A l'épreuve, les deux hypotheses témoignent d'une dissymétrie curieuse. Saccheri croit pouvoir faire -la preuve que
l'hypothèse de l'angle obtus est absolument contradictoire. I1
lui suffit-de quelques propositions pour démontrer que l'hypothèse conduit à' concevoir deux droites distinctes ayant deux
points cQmmuns; ce qui la met, suivant Saccbheri, en contradiction avec une propriété essentielle de l'espace, elle qui, dans
la Vulgate des Éléments, forme le postulat VI. Il y a donc clarté
parfaite2.
Au contraire, Saccheri ne parvient à devoiler de contradiction
dans l'hypothèse de l'angle aigu qu'au prix de deductions laborieuses et donit il n'est pas lui-même entièrément satisfait; il
réussit seulement a montrer que dans l'hypothèse de l'angle
aigu, on arriverait à concevoir deux lignes qui ont une perpendiculaire commune et un point commun. Cela est, ajoute-t-il,
contraire à la nature de làaligne.droite. Mais de cette assertion,
qui conserve une forme métaphysique,, peut-on conclure à une
contradiction formelle? Saccheri ne regarde pas son couvre
comme la solution définitive du débat.. Il avait, semble-t-il,
retardé autant qu'il était possible, la publication de son Euclides
1. Cf. Bonola (tr. LiebranE),,Die Nichteuklidische Geometrie, Leipzig, 1908,
p. 13.
2. -Euclides ab omni næovovindicatis sivé Conatus geometricus quo:sabiliantur
prima ipsoe universal geometrit- principia, Milan, 1733e prop., XIVÏ.p. 19.' Cf.
Mansion, Annales da 'la Société scientifique de Bruxelles, t. XIV, 1889-1890,
p. 35 et suiv.
3. Prop., XXXHII, p. 70.
4. IProp., XXXIX, Schol., p. 98.