Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

31 4 LES ÉTAPES DE LA. PHTLOSOPHIE MhTEsMATIQiE
ne correspond pas à un fait, unique et hors de: pair. Laor: t drio
emploryée par Euclide peu-t étre rem.plaée p ar d -'at res i forTiles,
capables de mettir davantage en lu mière les p.o.ri.tés carac-.
téristiques des parailèles euclidiennes et de Iespace auquel elles
se rapportent. A cet égard, les traits les plus signinlicatifs sont
peut-être 'eux qu'on relève aux deux extrétité s de cette évolutiorn au.. sieèle av. J.-C., la definition des parallèles que Posidolnus. substitute à la definition d 'Euclide au xvnW siècle, la
proposition que Wallis.inv. oque pouir lea drneirstraion du posatulat d'Euclide.
-187. -Pour Posidonius, deux parallèles son- deux droites to-u
jours équidistanles, -Et Proclus, qui n ous a. transr cM' ette d4finilion1, la defend en insistant sur le ~ 'paradoxe géoméitri, ue q'a
signalé Gerninus: l'existence de droites: asyrmp-o"es à l'hyperbole
ou à la conchoide. Puisqie deux lignes peuvent ne pas se rencon-.
trer, sans pourtant être parallèles, la lia ison de it qr'Eucide a
ntarlqurée pour les droites entre l'asymptoeie et le paral1élis iXe.
n'est pas un rapport essentiel; la definition des parallèles doit'
etre fondée sur un caractère positif, qui expliqu e l'impoertancer
déc,1isive de la théorie dans le développxemen t de a gé,omiétrio,
D'autre part, poursuivant l'effort nintineromfpu, grâce aux:coles de mathematiciens arabes, pour parvenir a la moénstration
du postulat euclidien, Wallis dégage- comme une des conditions requises pour la rigueur de la démronstratiotn, ce letnme fondamental que pour toute figure il existe une figure semblable de
grander r arbitraire 2. Wallis fait remarquer que le postulat IiI
d'Enclide: Qu'il soil demandé de décrire 'n cercl e de centre
quelconque, est un' cas particulier du théoreme gelexral de sirmilituot'B et il réclame le droit de présenter le théorètmne (conome
une ~ notion commune,, fondée sur la ~ nature de la quantity. ~,:
il est de l'esence de la quanftié, que toute figu-re soit, sans
perdre la ^qualité spécifique de sa figure,: usceptible d'ê,tre
augmentée ou diminuée, majorée, ou minorée comrme dira
Delbeuf3. Ainsi, avec l'instinct d'un mathiématici.en de race.,
i, OpC. cZ, p. 176..2. ~ Pirsarmo tandem (ex prmsupposita ratiohum aintura tanquanm cognia
et figurarum similium definitione), ut eommunem notionem, date cuicunque
figure, similemr tlim cujuscunque magnitudinis possibilem esse. Hoc enim (propter
qùantitates continuas in infinitum divisbiles,- pariter atque' n iainitum
auQibi!es), videtur cx ipsa quantitatis.nattura:nuere; figuram sclicet quan-mlibet
eontiit:a posse (reft2UEta âguroe specie) tam niani, tum augern in- infinitum.
Lemonsitra o postulati quinti Euclidis (1663),: prop. VII, Oémeri, t. i;, Oxford,
Î693, p. b76.
3. Proidgomènes philosophiques de la gomrîtrie et solutions des:pstial's, Litge,