Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

.31 '2 LES ÉTAPES D'E LA' PHILOSOPHIE MATIHMATIQUE
ippel à la vraisemblance et à la probability 1. Et, dès le second
siècle de l'ère chreien:ne, avec l'ouvrage de Ptolémée dont
Proclus nous- a conserve une fort intéressante analyse, se
manifeste un effort méthodique pour combler cette lacune capi-.tale de la demonstration euclidienne, et faire entrer le postulat
d'Euclide dans le tissu des théorèmes.
Le problème qui va se poser'nest donc pas de ceux où serait
engagée, ainsi qu'on l'a cru quelquefois, la destinée de la science
euclidienne. En réalité le débat est entre la géométrie, telle
qu'elle est chez Euclide, et la géométrie telle qu'elle.devrait être
suivant certain disciples plus logicieins que le maitre. Il est
elair, en effet, que si la géométrie doit apparaître capable de
rendre raison de {out, même de son propre point de départ, s'il
faut n'introduire aucun totrne qui ne soit strictement réductible
à des termes déjà définis, aucune proposition qui ne soit la conséquence logique de propositions dëjà déjmontrées, l'attribution aux.
parallèles de propriétés quti n6.résultent pas de leur définition,
sous quelque forme qu'elle soit donnée, est une proposition qu'il
est nécessaire de vérifier, sous peine de faire peser le soupçon
d'incertitude sur tout lecorps de doctrine qui est suspendu à cette
proposition initiale. S lt1ise trouve, au contraire, que cette réduction intégrale est impossible en fait, sinon en droit, si, pour
parler avec Pascal, ~( e qui passe la géométrie nous surpasse ~,
alors Euclide a raison:-il fallait ~ s'arrêter quelque part ~, et,
à l'aide des demandes euclidiennes ou par d'autres énoncés
équivalents, placer en tête. de la science qquelques propositions
qui marquent explicitemnent la connexionr entre la forme abstraite,du raisonnement et i'objet même auquel cette forme doit s'appliquer.
Voilà, expdtriée en ses termes historiques, l'alternative que;l'histoire'avait à rancher Or il semble que la solution de lfhistoire ne laisse plaoe.aucun doute, à' aucune équivoque. La
constitution des goém6tries7 -non euclidiennes a 'confirmé d'une
façon definitive la conception proprement e~ euclidienne ~ de la
géométrie: les propositions qu'Euclide a eu la sagesse d'admettre
sans demonstrations s't, efftectivement, indémontrables.
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X.)oytov cv iv ntp s.s, c~p8p.XoX(v. Proclus in Eucl. éd. Friedlein, 1873, p. 192.
Le.passage de Proclus est traduit dans Vincent, Sur un point de l'histoire de la
géométrie chez les Grecs et sur les principes philosophiques de cette science, 1857, p. 10.
2. Ibid., p. 362. Cf. Vincent, op. cit., p. 15-21, et Heath, The thirteen' Books of
Suclid's Elements, t. I, 1908, p, 204 et suiv.