Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LA CONCEPTION TECHNIQUE. DES MATHlÉMATIQUES 26ti
Kant insiste, d'une part, sur le processus synthétique qui permet à la mathématique -de parvenir à ses definitions. D'autre
part, il met en lumière l'objectivité concrète sur laquelle repose
sa méthode de demonstration. Ainsi, pour établir ala divisibilité
indéfinie de l'espace, le géomètre recourt à une construction;
suivant l'exemple indiqué par Kant1 (fig. 10), il trace une droite
AB perpendiculaire à deux parallèles CAD, EBF; d'un point C de c "
l'une de 'ees parallèles, il trace.
des drives qui coupent la perpen-
dieulaireet l'autre parallèle. Cette _
E B F'
parallèle EBF pouvant être prolongée à l'infini, on peut mener Fig. i0,
autant de sécantes que l'on voudra, de telle sorte que le segmentte ni AB apparait Susceptible
d'être divisé en une infinite de parties. ~ A ce symbole, conclut
Kant, le géomètre reconnaît avec la plus grande certitude que
la division devrait se, prolonger sans fin 2, ~
La cutriosité philosophiique de Kant le pousse à examiner de
plus près la nature de cet objet, qui est ainsi capable de
réppndre de: -lii-rême aux questions du niathérnmticien. En
1768,' il fait nuùe remarque qui parait; tLrs particulière, nmais '
laquelle il attacha' une importance décisive, piSqu'il enE fit
l'objet d'un article: Von dem ersten Grunde des Unterschiedes
'der Gegenden im Raume. I1 s'agit des notions de droite et de
gauche il n'y a guère de rnotioaquli au premnier abord ne
paraisse mieux répondre à lidée, que n6us n uo s faisons de
notions réciproques et susceptibles d'interversion, qui ne
paraisse mieux justifier la conception leibnizienne d'un ordre,idéal de coexistence. Voici pourtant un fait qui dément cette
conception: ~ Un triangle sphélrique peut être tout à fait égal
et semblable à un autre san1s le recouvrir cependant s. ~ De même
pour la main droite et, pour la main gauche. De tels exemples
sont suffisants pour faiie enttendre la possibility d'espaces tout
à fait semblables et égaux, el, cependant incongruents.
l.. ABK,, I, 279. La démonstration était indiquée sous former de théorème
duas la Mon4dologia physica, sect. 1, part, 1l1, AKB, I,p. 478. Voir la discussion d'Evellin, La raison pure et les antinoiies, Essai critique sur a philosophie
Kaantienne, 1907, p. 107.
2it bid. CLf issertation de 1770: ~ Geometria propositiones suas universales non demonstraLobjectum cogitando per conceptam universalem, quod
fit ianrationalibus, sed illud oculis subiicieudo per hltuîitum singaulrem,.quod
fit in sensitivis:,. ~ 5, C, AKB, 1, 403.
3. AKB, II, I385.
4. Ibid. lI, 382. Cf. la Dissertation de 1770, ~ 15, D.. AKB, II, 403.